NOIP模拟（10.24）T3 Math

Math

题目背景：

10.24 NOIP模拟T3

分析：结论 + 分析

 

这题还是比较妙的感觉上，首先a，b如果满足条件那么a，b的奇偶性一定相同。那么我们来分情况讨论下。

1、a, b为奇数

a² = b² = 1(mod 8) à a^b = b^a = a = b (mod 8)

a⁴ = b⁴ = 1(mod 16) à a^b = b^a = a^{(b % 4)} = b^{(a % 4)}(mod16)

因为a % 8 == b % 8那么a % 4 == b % 4, 因为b % 4为奇数，那么令a % 4 = 2 * k +1, 那么a^{2 * k + 1} = b^{2 * k + 1} (mod16)，因为我们可以知道两个数的奇数次方的差值都可以分解为(a - b) * (a^{2 * k} + a^{2 * k - 1} * b + a^{2 *k - 2} * b² + … + b^{2 * k})，后面的每一项都是一定是奇数（底数为奇数，指数和为奇数）一共有奇数项，所以后面一定为奇数，然后因为上式(mod 16)应该为0，那么(a - b) = 0 (mod 16) à a = b (mod 16)。

那么以此类推可以知道，a = b(mod 2ⁿ)所以只存在唯一解b = a % 2ⁿ；

 

2、a, b为偶数
显然当b >= n时，a^b = 0 (mod 2ⁿ)，那么b^a = 0 (mod2ⁿ)那么，我们令b = 2^k * c, 那么b^a = 2^ka * c^a, 显然，c^a 为奇数与2ⁿ 互质，所以2^ka =0 (mod 2ⁿ)那么，ka >= n, 那么k >= n / a所以b至少需要时2^k的倍数，k为满足k * a >= n的最小的自然数，那么b >= n的贡献就非常好求啦，然后对于b < n的部分，看到没n <= 30，暴力即可······

 

Source：

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int mod, a, n, t;
inline int ksm(int a, int b) {
	int ans = 1;
	for (; b; b >>= 1, a = (long long)a * (long long)a % mod)
		if (b & 1) ans = (long long)ans * (long long)a % mod;
	return ans;
}
 
inline void solve() {
	scanf("%d%d", &a, &n), mod = (1 << n);
	if (a & 1) std::cout << "1\n";
	else {
		int temp = n / a;
		if (temp * a < n) temp++;
		int ans = mod / (1 << temp) - n / (1 << temp);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			if (ksm(a, i) == ksm(i, a)) ans++;
		std::cout << ans << '\n';
	}
}
 
int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t--) solve();
	return 0;
}