NOIP模拟（10.22）T2 杆子的排列

最新推荐文章于 2021-11-18 12:12:24 发布

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本文探讨了NOIP模拟赛中一道关于杆子排列的问题，通过定义不同的状态，给出了两种动态规划的解决方案，一种时间复杂度为O(n³ + T)，另一种优化后的时间复杂度为O(n² + Tn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

杆子的排列

题目背景：

10.22 NOIP模拟作业T2

分析：DP

定义状态dp[i][j][k]表示，目前枚举到第i大的数（即n - i + 1）那么显然如果这一个数放在左边，可以在左边被看到，放在右边可以在右边看到，放在中间任何位置都不能被看见，（也就是说当前枚举的数是目前最小的一个）那么转移就很显然了

dp[i][j][k] = (dp[i - 1][j - 1][k] + dp[i - 1][j][k - 1] + dp[i -1][j][k] * (i - 2))

dp[i - 1][j - 1][k] à 这一个放在最左边

dp[i - 1][j][k - 1] à 这一个放在最右边

dp[i - 1][j][k] à 这一个放在中间，（一共有i - 1个，中间位置有i - 2个）

上面的DP是O(n³)的，那么总复杂度是O(n³+ T)

然而，刚才又知道了一种也很妙妙的方法，dp[i][j]表示，当前枚举到第i大的数，然后左边的上升序列长度为j的方案数，显然，右边的上升序列长度为j的方案数也是dp[i][j]，那么对于每一个n，我们枚举最高的杆子n所在的位置x，然后在剩下的n - 1个书中选择x - 1个放在左边，并且上升序列为l - 1，然后右边的n - x个数满足上升序列为r - 1那么显然方案数位dp[x - 1][l - 1] *dp[n - x][r - 1] * c(n - 1, x - 1)，(c为组合数)，那么我们就可以在O(n²+ Tn)的时间里面解决了（是不是可以该数据范围啊，T = 1000000, n =200或者T = 1000, n = 1000呵呵哒）

O(n³ + T)

Source：

/*
	created by scarlyw
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>

const int MAXN = 200 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, l, r, t;
int dp[MAXN][MAXN][MAXN];

inline void add(int &x, int t) {
	x += t, (x >= mod) ? (x -= mod) : (0); 
}
 
inline void pre_work() {
	dp[1][1][1] = 1;
	for (int i = 2; i < MAXN; ++i)
		for (int j = 1; j < MAXN; ++j)
			for (int k = 1; k < MAXN; ++k) {
				if (j + k > i + 1) break ;
				if (j + k < 3) continue ;
				add(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - 1][k]);
				add(dp[i][j][k], dp[i - 1][j][k - 1]);
				add(dp[i][j][k], (long long)dp[i - 1][j][k] * (i - 2) % mod);
			}
//	for (int i = 1; i <= 5; ++i)
//		for (int j = 1; j <= 5; ++j)
//			for (int k = 1; k <= 5; ++k)
//				std::cout << i << " " << j << " " << k << " " 
//					<< dp[i][j][k] << '\n'; 
}

int main() {
	scanf("%d", &t), pre_work();
	while (t--) scanf("%d%d%d", &n, &l, &r), printf("%d\n", dp[n][l][r]);
	return 0;
}

O(n² + Tn)

Source：

/*
	created by scarlyw
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>

const int MAXN = 200 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, l, r, t, ans;
int dp[MAXN][MAXN], c[MAXN][MAXN];

inline void add(int &x, int t) {
	x += t, (x >= mod) ? (x -= mod) : (0); 
}
 
inline void pre_work() {
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAXN; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j) {
			add(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
			if (i > j) add(dp[i][j], (long long)dp[i - 1][j] * (i - 1) % mod);
		}
//	for (int i = 1; i <= 4; ++i)
//		for (int j = 1; j <= 4; ++j)
//			std::cout << i << " " << j << " " << dp[i][j] << '\n';
	for (int i = 0; i < MAXN; ++i) c[i][i] = 1, c[i][0] = 1;
	for (int i = 2; i < MAXN; ++i)
		for (int j = 1; j < i; ++j)
			c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
//	for (int i = 1; i <= 5; ++i)
//		for (int j = 1; j <= 5; ++j)
//			for (int k = 1; k <= 5; ++k)
//				std::cout << i << " " << j << " " << k << " " 
//					<< dp[i][j][k] << '\n'; 
}

int main() {
	scanf("%d", &t), pre_work();
	while (t--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &l, &r), ans = 0;
		for (int i = 0; i <= n - 1; ++i)
			add(ans, (long long)dp[i][l - 1] * (long long)dp[n - 1 - i][r - 1] 
				% mod * (long long)c[n - 1][i] % mod);
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}