LG P5127 子异和 Solution

Description

对于序列 $a$，设 $f(a)$ 为 $a$ 的所有非空子序列的 $\mathrm{xor}$ 和之和。
给你一棵 $n$ 个点的树 $T$，每个点有点权 $w_i$，你需要执行 $q$ 次操作，操作分两种：

• 1 u v：设 $a$ 为 $u\to v$ 路径上的所有点权构成的序列，求 $f(a)\mathrm{mod}(10^9+7)$。
• 2 u v k：对于 $u\to v$ 路径上的每个点 $x$ 执行 $w_x\leftarrow w_x\mathrm{xor}k$。

Limitations

$1\le n,q\le 2\times 10^5$
$1\le u,v\le n$
$0\le a_i,k\le 10^9+7$
$1\text{s},125\text{MB}$

Solution

根据 P5390，可以得到 $f(a)=({\mathrm{or}}_{i=1}^t{a}_i)\times (2^t-1)$，其中 $t$ 为 $a$ 的长度。
现在问题转化为：链上 $\mathrm{xor}$ 一个数，链上 $\mathrm{or}$ 和，直接树剖拍到序列上。

接下来考虑序列上的问题，用线段树维护，每个节点存储两个整数 $p,q$，其中 $p$ 表示所管辖区间的 $\mathrm{and}$ 和（即每位是否全 $1$），$q$ 表示区间所有数取反后的 $\mathrm{and}$ 和（即每位是否全 $0$），那么答案就是 $q$ 取反后的值。

对于修改，考虑实际意义，对于 $p$，新的全 $1$ 位显然包含翻转过的全 $0$ 位和未翻转的全 $1$ 位，$q$ 同理，代码如下（一定要用 unsigned，这样取反才是对的）：

struct tag {
	unsigned x;
	inline tag() : x(0) {}
	inline tag(unsigned x) : x(x) {}
	inline void apply(const tag& t) { x ^= t.x; }
};

struct info {
	unsigned one, zero;
	inline info() : one(0), zero(0) {}
	inline info(unsigned one, unsigned zero) : one(one), zero(zero) {}
	
	inline void apply(const tag& t) {
		*this = *this ^ t.x;
	}
	
	inline info operator^(unsigned x) const {
		return {(one & ~x) | (zero & x), (zero & ~x) | (one & x)};
	}
	
	inline info operator+(const info& b) const {
		return {one & b.one, zero & b.zero};
	}
};

那么这题就做完了，完整代码不给了，时间复杂度 $O(q{\log }^{2}n)$。