LG P7432 [THUPC 2017] 钦妹的玩具商店 Solution-优快云博客

Description

给你 $n$ 种物品，第 $i$ 种价格为 $v_i$ ，价值为 $w_i$ ，数量为 $s_i$ 。
定义 $f (x)$ 为：在总价格 $≤x\le x$ 的前提下任选这些物品，所能获得的最大价值。
给你 $q$ 个询问 $(l, r)$ ，你需要求出删除第 $l∼rl\sim r$ 种物品后， $(108+7)(\sum_{i=1}^m f(i))\bmod (10^8+7)$ 和 $⊕i=imf(i)\oplus_{i=i}^m f(i)$ 的值，其中 $m$ 为给定常数。
询问间互相独立，且强制在线。

Limitations

本题有多测
$1≤n,m,q,vi,si≤1031\le n,m,q,v_i,s_i\le 10^3$
$1≤wi≤2.5×1051\le w_i\le 2.5\times 10^5$
$∑n,∑m,∑q≤104\sum n,\sum m,\sum q\le 10^4$
$3s,64MB3\text{s},64\text{MB}$

Solution

显然是多重背包。
我们可以想到预处理出前后缀的答案，查询时直接合并 $[1, l)$ 和 $(r, n]$ 两个背包，但合并背包的复杂度是 $O(m^2)$ 的，过不了。
注意到合并的复杂度过高，必须舍弃，然而本题强制在线，用不了猫树分治，考虑万能的分块。

我们预处理 $g(bl,br,x)g(\textit{bl},\textit{br},x)$ 表示排除第 $bl∼br\textit{bl}\sim\textit{br}$ 块内的物品后后 $f (x)$ 的值，每次询问先取整块，再暴力加入散块即可。

现在只需要维护能够动态插入物品的多重背包，这是容易做到的（需要二进制或单调队列优化），于是做完了，代码很好写。

用二进制优化的复杂度是 $O(nmnlog⁡n)O(nm\sqrt n\log n)$ ，用单调队列可以去掉 $log⁡\log$ 但没必要。两者空间复杂度均为 $O (nm)$ 。

Code

$O2)2.34\text{KB},8.03\text{s},3.65\text{MB}\;\texttt{(C++20 with O2)}$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;
using ui64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using ui128 = unsigned __int128;
using f4 = float;
using f8 = double;
using f16 = long double;

template<class T>
bool chmax(T &a, const T &b){
	if(a < b){ a = b; return true; }
	return false;
}

template<class T>
bool chmin(T &a, const T &b){
	if(a > b){ a = b; return true; }
	return false;
}

constexpr int mod = 1e8 + 7;
struct info {
	int m;
	vector<int> dp;
	inline info() {}
	inline info(int _m) : m(_m), dp(_m + 1) {}
	
	inline void _add(int v, int w) {
        for (int j = m; j >= v; j--) chmax(dp[j], dp[j - v] + w);
    }
    
    inline void add(int v, int w, int s) {
        int k = 1;
        while (k <= s) _add(k * v, k * w), s -= k, k <<= 1;
        if (s) _add(s * v, s * w);
    }
    
    inline int operator[](int i) const { return dp[i]; }
};

inline void solve() {
	int n, m, q;
	cin >> n >> m >> q;
	
	vector<int> v(n), w(n), s(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> v[i];
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> s[i];
	
	const int B = 0.8 * sqrt(n) + 1, blocks = (n + B - 1) / B;
	vector<int> L(blocks), R(blocks);
	for (int i = 0; i < blocks; i++) L[i] = i * B, R[i] = min(L[i] + B, n) - 1;
	
	info now(m);
	vector dp(blocks, vector<info>(blocks));
	for (int bl = 0; bl < blocks; bl++) {
	    info cur = now;
	    for (int br = blocks - 1; br >= bl; br--) {
	        dp[bl][br] = cur;
	        for (int i = L[br]; i <= R[br]; i++) cur.add(v[i], w[i], s[i]);
	    }
	    for (int i = L[bl]; i <= R[bl]; i++) now.add(v[i], w[i], s[i]);
	}
	
	auto ask = [&](int l, int r) {
		int bl = l / B, br = r / B;
		info ans = dp[bl][br];
        for (int i = L[bl]; i < l; i++) ans.add(v[i], w[i], s[i]);
        for (int i = R[br]; i > r; i--) ans.add(v[i], w[i], s[i]);
        return ans;
	};
	
	for (int i = 0, l, r, lastans = 0; i < q; i++) {
		cin >> l >> r;
		l = (l + lastans - 1) % n;
		r = (r + lastans - 1) % n;
		if (l > r) swap(l, r);
		
		auto ans = ask(l, r);
		int sum = 0, xor_sum = 0;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
        	sum = (1LL * sum + ans[j]) % mod;
        	xor_sum ^= ans[j];
        }
		cout << sum << ' ' << xor_sum << '\n';
		lastans = sum;
	}
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int T; cin >> T;
	while (T--) solve();
	
	return 0;
}