P6192 【模板】最小斯坦纳树

原创于 2024-08-01 21:23:23 发布 · 754 阅读

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#c++ #图论 #算法 #数据结构

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Description

给定一张 $n$ 点 $m$ 边的无向连通图，其中有 $k$ 个点是关键点。求图的一个子图，满足包含了所有 $k$ 个关键点，使得所包含的边集的权值和最小，求这个最小值。

Analysis

首先，答案子图肯定是一棵树，原因显然。
由于 $k$ 很小，考虑状压dp，设 $dp_{u,S}$ 表示以 $u$ 为根，关键点集合为 $S$ 时的答案，则有两种情况：

$u$ 的度数为 $1$ ，则可以删除 $u$ ，找一个相邻的节点 $v$ 来替代，有 $dp_{u,S}=dp_{v,S}+w(u,v)$ ，这里我们用 SPFA 跑最短路实现转移（这里用 SPFA 优于 Dijkstra）.
$u$ 的度数大于 $1$ ，可以将 $S$ 分成两个集合 $A, B$ ，有： $dp_{u,S}=dp_{u,A}+dp_{u,B}$ ，可以通过枚举子集实现转移。

Code

// Problem: P6192 【模板】最小斯坦纳树
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6192
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
#define int long long
using PII = pair<int, int>;
const int INF = 1e18;

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int n, m, k;
	cin >> n >> m >> k;
	
	vector<vector<PII>> G(n);
	for(int i = 0, u, v, w; i < m; i++){
		cin >> u >> v >> w;
		u--; v--;
		
		G[u].emplace_back(v, w);
		G[v].emplace_back(u, w);
	}
	
	int up = 1 << k;
	vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(up, INF));
	vector<int> p(k);
	for(int i = 0; i < k; i++){
		cin >> p[i];
		p[i]--;
		dp[p[i]][1 << i] = 0;
	}
	
	queue<int> q;
	vector<bool> vis(n, false);
	
	auto spfa = [&](int state){
		while(q.size()){
			int u = q.front();
			q.pop();
			vis[u] = false;
			
			for(auto edge: G[u]){
				int v = edge.first, w = edge.second;
				if(dp[v][state] > dp[u][state] + w){
					dp[v][state] = dp[u][state] + w;
					if(!vis[v]){
						q.push(v);
						vis[v] = true;
					}
				}
			}
		}
	};
	
	for(int s1 = 1; s1 < up; s1++){
		for(int i = 0; i < n; i++){
			for(int s2 = s1 & (s2 - 1); s2; s2 = s1 & (s2 - 1))
			    dp[i][s1] = min(dp[i][s1], dp[i][s2] + dp[i][s1 ^ s2]);
			if(dp[i][s1] != INF){
				q.push(i);
				vis[i] = true;
			}
		}
		spfa(s1);
	}
	cout << dp[p[0]][up - 1] << endl;
	return 0;
}