洛谷 P1730 最小密度路径

Description

定义一条路径的密度为：路径上边的权值和除以边的数量.
给定一张 $n$ 点 $m$ 边的有向图，$q$ 次询问，每次询问给定 $s,t$，求 $s\to t$ 的路径中密度最小的一条。

Analysis

$n$ 最大只有 $50$，我们可以预处理。
设 $d{p}_{i,j,l}$ 表示恰好经过 $l$ 条边的情况下，$i\to j$ 的最短路。
状态转移方程显然为
d p i , j , l = min ⁡ k ∈ [ 1 , n ] , d ∈ [ 0 , l ] { d p i , k , d + d p k , j , l − d } dp_{i,j,l}=\min_{k \in [1,n],d\in[0,l]} \{dp_{i,k,d}+dp_{k,j,l-d} \} dpi,j,l​=mink∈[1,n],d∈[0,l]​{dpi,k,d​+dpk,j,l−d​}

但实现这个转移需要五重循环，会 T 飞，如何减少时间呢？
可以发现，$d{p}_{i,j,l}$ 的选择路径 $v_1\to v_2\to \cdots \to v_l$，只需要找到其中一个点进行决策即可，这里我们选择 $v_l$，可得：
d p i , j , l = min ⁡ k ∈ [ 1 , n ] { d p i , k , l − 1 + d p k , j , 1 } dp_{i,j,l}=\min_{k \in [1,n]} \{dp_{i,k,l-1}+dp_{k,j,1} \} dpi,j,l​=mink∈[1,n]​{dpi,k,l−1​+dpk,j,1​}

边界条件显然为 $d{p}_{i,j,1}=w(i,j)$

处理每个查询时，将路径长度 $len$ 从 $s\to t$ 枚举一遍，找出 $\frac{d{p}_{s,t,len}}{len}$ 的最小值即可。

Code

注：代码中的下标全部从 $0$ 开始

// Problem: P1730 最小密度路径
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1730
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;
using ui64 = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using ui128 = unsigned __int128;
using f4 = float;
using f8 = double;
using f16 = long double;

const int INF = 1e9;

template<class T>
bool chmax(T &a, const T &b){
	if(a < b){ a = b; return true; }
	return false;
}

template<class T>
bool chmin(T &a, const T &b){
	if(a > b){ a = b; return true; }
	return false;
}


signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	
	vector dp(n, vector(n, vector<int>(m, INF)));
	for (int i = 0, u, v, w; i < m; i++) {
	    cin >> u >> v >> w;
	    u--, v--;
	    chmin(dp[u][v][0], w);
	}
	
	for (int l = 1; l < m; l++)
	    for (int k = 0; k < n; k++)
	        for (int i = 0; i < n; i++)
	            for (int j = 0; j < n; j++)
	                chmin(dp[i][j][l], dp[i][k][l - 1] + dp[k][j][0]);
	
	int q;
	cin >> q;
	
	for (int i = 0, u, v; i < q; i++){
	    cin >> u >> v;
	    u--, v--;
	    
	    f8 ans = INF;
	    for(int l = 0; l < n; l++)
	        if(dp[u][v][l] < INF) chmin(ans, 1.0 * dp[u][v][l] / (l + 1));
	    if(ans == INF) printf("OMG!\n");
	    else printf("%.3lf\n", ans);
	}
	return 0;
}