36、识别平面图的 3 可着色基本模式

识别平面图的 3 可着色基本模式

1. 引言

平面图具有许多有趣的性质，如四色可染性、分散性，且其内部结构能被优雅简洁地描述。在顶点着色问题中，2 可着色性可在多项式时间内解决，对于某些图拓扑结构（如无 AT 图和完美图）的 3 可着色性也已在多项式时间内得到解决。此外，对于一些图类（如可比图、弦图和区间图）的色数确定也已被有效解决。在这些情况下，都发现了特殊结构（模式）来表征具有多项式时间复杂度的可着色图类。本文首次引入了一种被称为多面体轮的基本图模式，用于构成任何平面图，并确定了一组符号变量必须满足的逻辑规范，以识别多面体轮的有效 3 着色。

2. 预备知识

2.1 图的基本概念

• 设 $G = (V, E)$ 是一个无向简单图（即有限、无环且无多重边），其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。
• 若存在边 ${v, w} \in E$ 连接两个不同顶点，则称 $v$ 和 $w$ 相邻。顶点 $x$ 的邻域 $N(x) = {y \in V : {x, y} \in E}$，其闭邻域 $N[x] = N(x) \cup {x}$。集合 $A$ 的基数记为 $|A|$，顶点 $x$ 的度为 $|N(x)|$，记为 $\delta(x)$。
• 若 $V’ \subset V$ 且 $E’ \subset E$，则称 $G’ = (V’, E’)$ 是 $G$ 的子图。若 $V’ = V$，则 $G’$ 称为 $G$ 的生成子图。若 $G’$ 包含 $G$ 中连接 $V’$ 中两个顶点的所有边，则称 $G’$ 由 $V’$ 诱导。$G - V’$ 是由 $V - V’$ 诱导的子图，类似地，若 $E