青蛙跳台阶算法分析

 

青蛙跳台阶问题在面试中经常会被问到，如果你之前没听过这个算法问题，那么在面试短时间内能给出完整的答案还是有一定的难度的，但是其实也并不算很难，看完这篇文章，相信你会恍然大悟的。

 

一只青蛙一次可以跳一级台阶，也可以一次跳两级台阶，现在有 n 级台阶，问青蛙一共有多少种跳法？

 

咋一看到这种问题，好像没有什么思路，不知道从哪里着手分析，那么我们就从最简单的情况开始分析，假如 n = 1，即一共只有一级台阶，显然一共就只有一种跳法，假如 n = 2，一共有两级台阶，那么可以每次跳一级跳两次，或者也可以一次跳两级，也就是说一共有两种跳法。n 越大跳法就越多，但是我们可以发现一个规律，就是把 n 拆分成各个比他小的数来分析，这里有点像分而治之的思想，即把大问题划分为若干个小问题来处理，最后再把小问题汇总去解决大问题。

 

我们先令 f(n) 为 n 级台阶的总跳法数，那么第一次如果选择跳一级的话，那么剩下的 n-1 级台阶的跳法数就为 f(n-1)，如果第一次跳两级的话，那么剩下的 n-2 级台阶的跳法就是 f(n-2)，然后再回到题目中要求来看，青蛙一次只能挑一级或两级，也就是说刚刚列举的这两种情况的和就是青蛙一共有多少种跳法，所以 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。到了这一步，我们不难看出，这其实就是数学中的斐波拉契数列，看到这里应该会有恍然大悟的感觉了，如果还没明白的话，请回到文章开头再次认真看。

 

问题的思路已经找到了，接下来我们就用 python 来实现这个斐波拉契数列吧。关于斐波拉契数列的实现，我这里用了两种方式，一种是递归，一种是循环，其中一旦 n 数据较大时递归的效率是非常非常差的，大家可以用 n = 100 简单试一下就知道有多慢了，估计没个 10 分钟计算机是算不出来的，其时间复杂度为 O(2^n)，随 n 的增加时间复杂度成指数级增长，因为在这递归过程中，我们在不断重复计算 f(n-1) 和 f(n-2) 的值，即每计算数列中的某个数，都会从 1 重新开始计算，这样的效率能不慢么，所以递归这种方式不可