【NOI2017模拟6.20】树形图求和

题目

解法一

首先对于树形图的个数这样算：
a[i][i]表示i号点的出度，a[i][j]表示从i到j的边个数的相反数
去掉第n行第n列后剩下的矩阵的行列式即为树形图个数
考虑枚举每条边并计算这条边的影响。
就是说我们枚举一条边(x,y)然后a[x][x]–,a[x][y]++重新计算行列式
对于如下矩阵：

$$A=\begin{bmatrix} a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\ \vdots &\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,n}\end{bmatrix}$$
若我们将第k列改成c[]
即
$$B=\begin{bmatrix} a_{1,1}&\cdots&a_{1,k-1}&c_1&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1,n}\\ \vdots &\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,k-1}&c_n&a_{n,k+1}&\cdots&a_{n,n}\end{bmatrix}$$
考虑如下方程：
$$\text{对于所有i有：}\sum_{j=1}^na_{i,j}\cdot x_j=c_i$$
那么有：
$$det(B)=det(A)\times x_k$$
上述方程中x为未知数，$x_i$的意义为：把某一列的数加到第k列得到c的系数。
我们可以用c表示出所有的x，当我们需要查询的时候就直接扫一下代入就好了

解法二

而我的解法是这样的：
定义二元组(a,b)表示方案数为a，每种方案的权值和为b。
那么乘法相当于两个二元组的组合，即：

$$(a,b)\times(c,d)=(ac,ad+bc)$$
相应的也可以推出除法（虽然并没有什么组合意义），加法，减法
而其零元为：(0,0)
其单位元为：(1,0)
然后就可以直接代入进去做高斯消元了

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<bitset>
#include<map>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef double db;

int get(){
    char ch;
    while(ch=getchar(),(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-');
    if (ch=='-'){
        int s=0;
        while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0';
        return -s;
    }
    int s=ch-'0';
    while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0';
    return s;
}

const int N = 310;
const int mo = 1E+9+7;

LL add(LL x,LL y){return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;}
LL quickmi(LL x,LL tim){
    LL ans=1;
    for(;tim;tim/=2,x=x*x%mo)
    if (tim%2)ans=ans*x%mo;
    return ans;
}
struct numb{
    LL  a,b;
    numb(const int a_=0,const int b_=0){a=a_;b=b_;}
};
numb operator *(numb a,numb b){return numb(a.a*b.a%mo,add(a.a*b.b%mo,a.b*b.a%mo));}
numb operator +(numb a,numb b){return numb(add(a.a,b.a),add(a.b,b.b));}
numb operator -(numb a,numb b){return numb((a.a+mo-b.a)%mo,(a.b+mo-b.b)%mo);}
numb operator /(numb a,numb b){
    LL tmp=quickmi(b.a,mo-2);
    LL a_=a.a*tmp%mo;
    return numb(a_,((a.b+mo-a_*b.b%mo)%mo)*tmp%mo);
}
numb operator *(numb a,LL x){return numb(a.a*x%mo,a.b*x%mo);}
numb operator /(numb a,LL x){
    LL tmp=quickmi(x,mo-2);
    return numb(a.a*tmp%mo,a.b*tmp%mo);
}

struct matrix{
    numb a[N][N];
    numb* operator [](int x){return a[x];}
}a;
int n,m;
numb d[N];
int fa[N];
numb ny[N];

int getfather(int x){
    if (fa[x]==x)return x;
    return fa[x]=getfather(fa[x]);
}

int main(){
    freopen("calc.in","r",stdin);
    freopen("calc.out","w",stdout);
    n=get();m=get();
    fo(i,1,n)fa[i]=i;
    fo(i,1,m){
        int x=get(),y=get(),v=get();
        int tx=getfather(x),ty=getfather(y);
        fa[tx]=ty;
        numb u=numb(1,v);
        a[x][y]=a[x][y]+u;
        //a[y][x]=a[y][x]+u;
        d[x]=d[x]+u;
        //d[y]=d[y]+u;
    }
    bool bz=1;
    int lst=getfather(1);
    fo(i,2,n){
        int u=getfather(i);
        if (u!=lst){bz=0;break;}
    }
    if (!bz){
        printf("0\n");
        fclose(stdin);
        fclose(stdout);
    }
    fo(x,1,n)
        fo(y,1,n)
        a[x][y]=a[x][y]*(mo-1);
    fo(x,1,n)a[x][x]=d[x];
    n--;
    fo(i,1,n){
        fo(j,1,i-1)
        if (a[i][j].a||a[i][j].b){
            numb tmp=a[i][j]*ny[j];
            fo(x,1,n)a[i][x]=a[i][x]-tmp*a[j][x];
        }
        ny[i]=numb(1,0)/a[i][i];
    }
    numb ans=numb(1,0);
    fo(i,1,n)ans=ans*a[i][i];
    printf("%lld\n",ans.b);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}