非线性方程的数值解法

许多问题都可以归结为求解一元函数方程 𝑓 𝑥 = 0. 若𝑓(𝑥)为𝑛次多项式，则称其为𝑛次多项式方程或代数方程；

• 当𝑛 ≤ 4时，多项式的方程的根可以用求根公式表示；
• 当𝑛 ≥ 5时，其根已不能用公式表示，即无解析表达式。

若𝑓(𝑥)为超越函数，则称其为超越方程；

求解一元函数方程 𝑓 𝑥 = 0 可大致分为三个步骤：

• 根的存在性： 方程是否有根？如果有，有几个根？
• 根的隔离： 把有根区间分成较小的子区间，每个子区间有一个根或者没
  有根，这样可将有根子区间内的任一点看成根的近似值。
• 根的精确化 : 对某个近似值逐步精确化，以达到一定精度要求。

1. 二分法

原理：

若 f 在[a, b]上连续，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上至少有一实根。

基本思想：逐步二分区间[ a , b ]，通过判断两端点函数值的符号，进一步缩小有根区间，将有根区间的长度 缩小到充分小，从而求出满足精度要求的根𝑥∗的近似值。

二分法的计算过程：

1. 计算𝑓(𝑥)在有解区间[a, b]端点处的值,𝑓 𝑎 ,𝑓 𝑏 .
2. 计算𝑓(𝑥)在中点𝑥0 = 𝑎+𝑏 / 2 处的值𝑓(𝑥0),
3. 若𝑓(𝑥0) = 0，则𝑥0为根，否则判断： 若𝑓 𝑥0 · 𝑓 𝑎 < 0, 则根位于区间[𝑎,𝑥0]; 𝑏1 = 𝑥0,𝑎1 = 𝑎 若𝑓 𝑥0 · 𝑓 𝑏 < 0, 则根位于区间[𝑥0,𝑏]; 𝑏1 = 𝑏,𝑎1 = 𝑥0 反复执行2，3步骤，便可以得到一系列的有根区间： (a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …

误差分析：
第1步产生的X1 = （ a + b ）/ 2 有误差| X1- X*| <= ( b - a ) / 2;
第k步产生的Xk 有误差| Xk- X*| <= ( b - a ) / 2的k次方

对于给定的精度R ,可估计二分法所需的步数 k:
( b - a ) / 2的k次方 < R ==> k > [ ln( b - a ) - lnR ] / ln2

2.迭代法

基本思想：已知非线性方程𝑓 𝑥 = 0的一个近似根，通过构造一个递 推关系即迭代格式，并根据这个迭代格式反复校正根的 近似值，计算出根的近似值序列，使之逐步精确化，直 到满足给定精度要求为止

迭代法是用某种收敛于所给问题精确解的一个极限过程， 来逐步逼近的一种计算方法，从而可以用有限步骤算出 精确解的具有指定精度的近似解，是求方程根的