2、随机变量与概率分布基础概念解析

随机变量与概率分布基础概念解析

在研究随机现象和时间序列分析时，一些基础概念起着至关重要的作用。下面将详细介绍随机变量、常见概率分布以及条件密度等相关概念。

1. 随机变量

随机变量是概率论中的核心概念之一。对于随机变量 (X)，其分布函数 (F(x)) 定义为：
[F(x) = P(X \leq x)]
这表示随机变量 (X) 小于或等于数值 (x) 的概率。由此可推出，随机变量 (X) 落在区间 ((a, b]) 的概率为：
[P(a < X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a)]

概率密度函数 (f(x)) 是分布函数 (F(x)) 的导数（若导数存在）。对于连续型随机变量 (X)，有：
[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(y) dy]
且
[P(x < X \leq x + dx) = f(x) dx]
当 (dx = 0) 时，连续型随机变量 (X) 取某个精确数值的概率为 (0)，因为任意小的区间都包含无穷多个实数。概率密度函数具有以下性质：
- (f(x) \geq 0)，对于所有 (x)
- (\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1)

期望算子用于定义函数 (g(X)) 的期望值：
[E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx]
由此可定义随机变量 (X) 的均值 (\mu_X)、方差 (\sigma_X^2) 和 (r) 阶中心矩 (\mu_r)：