26、部分知识：信念函数、密度与分配的深入探究

部分知识：信念函数、密度与分配的深入探究

1. 随机变量与信念函数基础

在处理粗数据时，对信念的定量概念可以通过以下方式来理解。设((Ω, A, P))为概率空间，(U)为有限集。若(X : Ω→U)是随机变量，(X)的粗化是(U)上的非空随机集(S)，即(S : Ω→2^U)，且满足(P(X ∈S) = 1)，此时(X)被称为(S)的几乎必然选择器。这意味着(P{ω ∈Ω: X(ω) ∈S(ω)} = 1)，所以(S(ω) \neq ∅)。设(F)是(S)的分布函数，那么(F)是一个信念函数。(X)在(U)上的任何可能概率律(Q)都满足(F ≤Q)，即(Q)是(F)的核心元素，所以(F)的核心是(X)在(U)上真实概率的一个模型。

2. 函数空间与代数结构

• 向量空间(F) ：设(U)为有限集，(F = { f : 2^U →R})。对于(f)和(g ∈F)以及(r ∈R)，定义((f + g) (X) = f(X) + g(X))，((rf) (X) = r (f(X)))。可以证明(F)是(R)上的向量空间，其一组基为({f_Y : Y ⊆U})，其中(f_Y (Y ) = 1)，若(X \neq Y)，则(f_Y (X) = 0)，所以(F)在(R)上的维数为(2^{|U|})。
• 关联代数(A) ：设(A = A(U))是函数(\binom{2^U}{[2]} →R)的集合，其中(\binom{2^U}{[2]} = {(X, Y ) : X ⊆Y ⊆U})。在(A)上定义逐点加法和乘法((α ∗β) (X, Y ) = \sum_{X⊆Z⊆Y} α(X,