【几何学笔记】单纯复形与同调群

最新推荐文章于 2024-05-20 17:42:56 发布

rxlfnng

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分类专栏：几何学笔记

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本文介绍如何通过单纯剖分和单纯复形研究抽象几何形状的拓扑性质。利用闭曲线分类探讨二维环面的结构，引入定向单纯形的概念，并定义了链群、闭链群和边缘群，最终引出同调群的定义。

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抽象的几何形状不容易研究，可以将其进行单纯剖分，通过研究与其同胚的单纯复形来探究其拓扑性质。

设 $q$ 单纯形 $\sigma$ 表示 $q+1$ 个两两之间形成的向量线性无关的点集所包含的最小凸包。0单纯形为点，1单纯形为直线，2单纯形为三角形，3单纯性为四面体，4单纯形在四维空间中无法直观。

单纯复形 $K$ 指某个欧氏空间内的一组有限多个单纯形满足：某个单纯形属于这个组，它的每个面也属于这个组，并且组内两个单纯形或者不相交，如果相交则公共部分是一个公共面。

我们想要探究一个几何体的拓扑结构，比如一个二维环面。在上面作闭曲线可以得到三种，一种是绕孔洞一周的闭曲线A，一种是绕轴向的闭曲线B，还有一种是表面的封闭曲线C。

其中只有曲线C是一小块曲面的边界，我们想要了解环面的拓扑结构，应该想办法把那些作为曲面块边界的曲线予以忽略，只保留对认识环面结构有用的曲线(所谓忽略，在代数的意义下就是求商群)。

我们在计算之前先对单纯形加上定向，若 $u$ , $v$ , $w$ , $z$ 为3单纯性的四个顶点， $(u,v,w,z)$ 表示按定点次序 $u$ , $v$ , $w$ , $z$ 定向的这个单纯形。定向的改变用负号表示。所以

$(u,v,w,z)=(v,w,z,u)=(w,z,u,v)=-(v,u,w,z)=-(u,w,v,z)$

单纯形 $(u,v,w,z)$ 的边缘定义为去掉单纯形中的一个点剩余的点组成的单纯形。 $\partial (u,v,w,z) = (v,w,z) - (u,w,z)+(u,v,z)-(u,v,w) = \sum_{i = 0}^{3}(-1)^{i}(a_{0}\cdots a_{-i}\cdots a_{3})$ ， $a_{-i}$ 表示去掉第 $i$ 个点。

由于单纯形的边缘一定是闭的，所以边缘的边缘一定是0。

考虑单纯复形 $K$ 中的 $q$ 单纯性以整数为系数的线性组合：

$\lambda _{1}\sigma _{1}+\cdots +\lambda _{k}\sigma _{k}$

这个线性组合没有什么几何意义，但是它可以定义一个群加法构成一个群

$\sum \lambda _{i}(u_{i}, v_{i}) + \sum \mu _{i}(u_{i}, v_{i}) = \sum (\lambda_{i} + \mu_{i}) (u_{i}, v_{i})$

其幺元为0，为一阿贝尔群，叫作链群。

$C_{q}(K)$ 表示单纯复形 $K$ 上的 $q$ 链群，对其作边缘同态映射 $\partial :C_{q}(K)\rightarrow C_{q-1}(K)$

$C_{q}(K)$ 通过此映射后得到幺元的同态核是 $q$ 维链群 $C_{q}(K)$ 的子群叫作 $q$ 维闭链群，记作 $Z_{q}(K)$

$C_{q}(K)$ 中的所有边缘，即经过同态映射 $\partial :C_{q+1}(K)\rightarrow C_{q}(K)$ 得到的同态像，是 $q$ 维链群 $C_{q}(K)$ 的子群，也是 $q$ 维闭链群 $Z_{q}(K)$ 的子群(因为边缘都是闭的)，叫作 $q$ 维边缘闭链群，简称 $q$ 维边缘群，记作 $B_{q}(K)$ 。