31、平衡统计力学基础与网络操作分析

平衡统计力学基础与网络操作分析

1. 无限范围铁磁体的动力学与遍历性破缺

在并行情况下，当$N \to \infty$时，磁化强度$m(t)$按照如下方程演化：
$m(t + 1) = \tanh(\beta Jm(t))$

对于$J < 0$且$T < |J|$，$m(t)$会趋近于极限环$m(t) = m_{\beta}(-1)^t$或其对称的$m(t) = -m_{\beta}(-1)^t$。遍历性破缺表现为系统只会选择这两个极限环中的一个。对于大但有限的$N$，如果等待足够长的时间，系统会在这两个极限环之间偶尔发生转变。因此，在任意给定的（长）时间$t$，我们只能预测$m$接近$+m_{\beta}$或$-m_{\beta}$，但无法确定具体是哪一个。

2. 统计力学分析的一般策略

对无限范围铁磁体的分析展示了平衡网络操作统计力学分析的一般步骤：
1. 为给定的相互作用$J_{ij}$和外场$\vartheta_i$找到哈密顿量，它通常（但不总是）可以用有限数量的序参量表示。
2. 引入这些序参量的态密度，并使用约束序参量到所需值的δ函数的积分表示来计算它。
3. 态密度的对数给出约束熵，将其与已知的哈密顿量结合得到约束自由能。
4. 找到约束自由能的局部极小值。对于$N \to \infty$，系统将停留在相空间的一个遍历分量中（由初始条件决定），这些局部极小值代表了这些遍历分量。在长但非指数长的时间极限下，将观察到这些局部极小值处的序参量值。在指数长的时间尺度上，系统将完全达到平衡，只有约束自由能的最低（全局）极小值仍然相关，这将决定无约束自由能$f$的所谓“热力学”值。