8、基于Petunin椭球的多元时间序列变点检测统计算法

基于Petunin椭球的多元时间序列变点检测统计算法

1. 变点检测算法理想特性

在多元时间序列变点检测中，理想的算法应具备以下特性：
1. 高准确性：能够精准地检测出时间序列中的变点位置。
2. 稳定性：在不同的数据分布和噪声环境下都能稳定工作。
3. 对底层分布的独立性：不依赖于特定的数据分布假设。
4. 低计算成本：减少计算资源的消耗，提高算法效率。

基于这些特性，下面将介绍一种基于Petunin椭球的变点检测算法。

2. Petunin椭球的特性

Petunin椭球具有以下令人瞩目的特性，使其成为多元时间序列变点检测的优秀工具：
1. 随机点排序的唯一性 ：在多维空间中，Petunin椭球能够为随机点提供唯一的排序。
2. 精确的覆盖概率 ：一个点被Petunin椭球覆盖的概率精确等于 $\frac{n - 1}{n + 1}$，其中 $n$ 是随机点的数量。
3. 深度点和异常值检测 ：由于覆盖随机点集的Petunin椭球是同心的，并且根据统计深度对随机点进行唯一排序，因此可以利用它找到最深点和异常值（离群点）。
4. 对底层分布的独立性 ：使用Petunin椭球对随机点进行排序时，不依赖于底层的数据分布。

3. Petunin椭圆和椭球的构建算法

根据初始空间的维度 $d$，算法分为两种情况：

3.1 二维情况（$d = 2$）