60、马尔可夫决策过程（MDP）算法解析

马尔可夫决策过程（MDP）算法解析

1. 引言

在解决复杂决策问题时，马尔可夫决策过程（MDP）是一种非常有效的数学模型。以俄罗斯方块游戏为例，它就是一个典型的 MDP 问题。游戏的状态变量包括当前方块（CurrentPiece）、下一个方块（NextPiece）以及一个表示棋盘填充情况的位向量变量 Filled。整个状态空间大约有 $10^{62}$ 个状态。接下来，我们将详细介绍几种解决 MDP 问题的算法。

2. 解决 MDP 的算法概述

解决 MDP 问题主要有四种不同的算法，前三种，即值迭代、策略迭代和线性规划，是离线生成精确解的算法，而第四种是包括蒙特卡罗规划在内的在线近似算法家族。以下是这些算法的简要介绍：
|算法名称|算法类型|特点|
| ---- | ---- | ---- |
|值迭代|离线精确算法|基于贝尔曼方程，通过迭代更新状态的效用值，最终收敛到最优解|
|策略迭代|离线精确算法|交替进行策略评估和策略改进，直到策略不再改变|
|线性规划|离线精确算法|将 MDP 问题转化为线性规划问题进行求解|
|在线算法|在线近似算法|在决策点进行大量计算，适用于大规模 MDP 问题|

3. 值迭代算法

值迭代算法是基于贝尔曼方程来解决 MDP 问题的。如果有 $n$ 个可能的状态，就会有 $n$ 个贝尔曼方程，每个方程对应一个状态。这些方程包含 $n$ 个未知数，即状态的效用值。由于方程是非线性的（因为“max”运算符不是线性运算符），所以采用迭代的方法来求解。

值迭代算法的步骤如下：
1. 初始化所有状态的效用值为任意值（通常