12、同步投票博弈相关研究解析

同步投票博弈相关研究解析

1. 特殊投票机制

在某些特殊的投票机制中，每个选民需要报告两部分信息：一是自身的偏好 $L_i$，二是一个整数 $x_i \in [n]$。机制首先选定一个“临时独裁者” $i^ = (\sum_{i\in N} x_i \bmod n) + 1$，然后返回该独裁者偏好列表中的首选，即 $top(L_{i^ })$。

可以验证，对于偏好为 $L_i$ 的选民，无论整数 $x$ 取何值，行动 $a_i = (L_i, x)$ 都弱优于所有 $a_i’ = (L_i’, x)$（其中 $L_i’ \neq L_i$）。因为当 $i^* = i$ 时，$a_i$ 严格更优，其他情况则无影响。在集合 ${(L_i, x)}_{x\in [n]}$ 中，没有一个行动弱优于其他行动，所以它们都是非占优的。

在任何非占优策略组合中，所有选民都会报告真实偏好（以及任意数字），这意味着机制会返回某个 $i \in N$ 的 $top(L_i) \in F_{TOPS}(L)$。反之，对于任意 $c \in F_{TOPS}(L)$，存在某个 $j \in N$ 使得 $c = top(L_j)$。对于非占优行动组合 $a_1 = (L_1, j - 1)$，$a_i = (L_i, n) \ \forall i > 1$，可以得到 $(\sum_{i\in N} x_i \bmod n) + 1 = j$ 为选定的独裁者，机制返回 $c$。

有人认为这种机制是一种巧妙的随机独裁方式，无需明确的随机化操作。但不幸的是，为了得到积极的结果，这种奇特的构造是必要的。如果机制的输入是有限的，那么任何可实施的社会选择对应（SCC）都