11、量子复杂度理论入门

量子复杂度理论入门

量子复杂度理论主要聚焦于三个基础模型：计算复杂度、查询复杂度和通信复杂度，这三者虽各有不同，但却存在紧密的联系。下面我们将详细了解这三个模型。

1. 计算复杂度

在计算复杂度的场景中，输入通常被编码为二进制字符串，算法需依据这些输入计算出对应的输出字符串。算法通过一系列局部操作得出所需输出，这里的“局部”指的是每个操作仅涉及少量的数据位或量子位。

1.1 经典电路

经典电路的基本操作包括二进制与（AND）门、二进制或（OR）门和一元非（NOT）门。例如，一个由五个门组成的布尔电路可计算两位的奇偶性。不过，计算复杂度对所选择的基本操作集十分敏感。以计算两位奇偶性为例，若使用与、或、非门，最小电路需要五个门；若将异或（EXCLUSIVE - OR）门作为基本操作，一个门就足够了。

对于大规模问题，如计算n位的奇偶性，使用异或门构建的树结构需要n - 1个门；若仅使用与、或、非门，则大约需要5(n - 1)个门。在这两种情况下，门的数量都是O(n)。

计算复杂度通常用渐近符号表示，如O(T(n))表示上限，Ω(T(n))表示下限，Θ(T(n))表示上下限都满足。如果一个电路的大小是O(nd)（d为常数），则称其为多项式有界的。

在处理输入大小n时，对于n可变的问题，算法通常是一个电路族（C1, C2, C3, …），其中Cn负责处理所有大小为n的输入实例。电路族需要是均匀的，即可以用有限的方式进行指定。

下面来看几个具体的问题：
- 素性测试 ：输入是一个用n位二进制字符串表示的数x，若x为素数，输出为1；若x为合数