算法编程题-如何判断一个点是否在三角形内

原题描述

最近在刷codetop上的腾讯算法题时，有一道题目就是判断一个点是否在三角形内，给定这个三角形的三个顶点的坐标和要判断的这个点的坐标。

思路方法

等面积法

思路

很容易想到的是，可以用等面积法。如下图，O点如果在三角形内的话，显然O与三角形任意两边所形成的三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积之和，但如果点O在三角形外的话，这样的等式显然是不成立的。

利用这个性质可以判断点是否在三角形内，但严谨一点，点如果在边上也是满足这个等式的，所以在分别求取小三角形面积的时候，可以判断一下面积是否为零，为零则说明点在边上。根据三角形的三个顶点求取三角形面积可以使用海伦公式，假设a，b，c分别为三角形的三边长。计算公式如下。
$$p=\frac{a+b+c}{2}$$
$$S=\sqrt{p\ast (p-a)\ast (p-b)\ast (p-c)}$$
但是等面积法在程序实现上由于计算机处理浮点数的误差，在比较的时候不能判断两个面积是否相等，而是应该判断两个差的绝对值是否在一个很小的数范围内。但是牛客网的测试数据中，依然有部分数据无法正常通过。

代码

type Point struct {
   
   
	X, Y float64
}


// 给定三角形的三个顶点，求取三角形面积
func getTriangleArea(triangle [3]Point) float64 {
   
   
	edges := make([]float64, 3)
	for i := 0; i < 3; i++ {
   
   
		x1, y1 := triangle[i].X, triangle[i].Y
		x2, y2 := triangle[(i + 1) % 3].X, triangle[(i + 1) % 3].Y
		edges[i] = math.Sqrt(float64((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1)))
	}
	p := (edges[0] + edges[1] + edges[2]) / 2
	return math.Sqrt(p * (p - edges[0]) * (p - edges[1]) * (p - edges[2]))
}


func isPointInTri(triangle [3]Point, point Point) bool {
   
   
	// 面积法
	totalArea := getTriangleArea(triangle)
	area := 0.0
	for i := 0; i < 3; i++ {
   
   
		tri := triangle   // 数组的话，这里会拷贝一份，与切片不同
		tri[i] = point
		area1 := getTriangleArea(tri)
		if area1 < 1e-5 {
   
      // 点可能在边上
			return false 
		}
		area += area1
	}
	return math.Abs(totalArea - area) < 1e-5   // 浮点数的比较
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(1)$
• 空间复杂度: $O(1)$

叉乘法

思路

注意观察上图，可以发现，如果点在三角形内，那么对于任意一条边来说，该点和三角形剩下的一个点一定出现在这条边的同一侧，如果点不在三角形内，那么一定存在一条边，使得三角形外的该点和三角形剩下的一个点出现在这条边的两侧。利用这个性质，也可以判断点是否在三角形内。
那么如何判断两个点是否在一条边的同一侧呢？这里可以利用叉乘的性质。如下图，对于边OB来说，点A和点C是否在同一侧，可以利用以下的式子的正负号来判断，如果为正，则在同一侧，否则不在同一侧。

R = ( O A ⃗ × O B ⃗ ) ∗ ( O C ⃗ × O B ⃗ ) R=(\vec{OA} \times \vec{OB}) * (\vec{OC} \times \vec{OB})