如何判断一点在三角形内

 

假定在右手坐标系中的三角形3点坐标为A,B,C,判断P是否在ABC之内

 

( 主要来自 3D引擎研发QQ群(38224573 )的各位朋友的讨论 ,我仅仅算做个总结吧,特别感谢各位朋友的热情支持。 )

 

方法1:三个Perplane的方法

           设AB,BC,AC边上的垂直平面为Perplane[3],垂直朝向内侧的法向为n[3]

          1)先根据任意两边叉出法向N

               N = AB.CrossProduct(AC); 

               N.Normalize();

               D = A.DotProduct( N );

          2)如果P在三角形所在平面之外,可直接判定不在平面之内( 假定方程为 ax+by+cz+d = 0 )

               if( P.DotProduct( N ) + D > 0 ) return false; 

          3)然后法向和各边叉出垂直平面的法向

               n[0] = N.CrossProduct(AB); //朝向内侧

               n[0].Normalize();

               Perplane[0].dist = A.DotProduct(n[0]);

               Perplane[0].normal = n[0];

               同样方法求得Perplane[1],Perlane[2];

          3)因为三个Perplane都朝向三角形内侧,P在三角形内的条件是同时在三个Perplane前面;如果给定点P在任意一个垂直平面之后,那么可判定P在三角形外部

               for( int i = 0;i<3;j++ )

               {

                    if( P.DotProduct( Perplane[i].normal ) + Perplane[i].dist < 0 )

                         return false;

               }

               return true;//如果P没有在任意一条边的外面,可判断定在三角形之内,当然包括在边上的情况

 

方法2:三个部分面积与总面积相等的方法

 

          S(PAB) + S(PAC) + S( PBC) = S(ABC) 则判定在三角形之内

          用矢量代数方法计算三角形的面积为

               S = 1/2*|a|*|b|*sin(theta)

                  = 1/2*|a|*|b|*sqrt(1-cos^2(theta))

                  = 1/2*|a|*|b|*sqrt(1- (a.DotProduct(b)/(|a|*|b|))^2);

 

               另一种计算面积的方法是 S = 1/2*|a.CrossProduct(b)|

 

               比较一下,发现后者的精确度和效率都高于前者,因为前者需要开方和求矢量长度,矢量长度相当于一次点乘,三个点乘加一个开方,显然不如

               后者一次叉乘加一次矢量长度(注,一次叉乘计算相当于2次点乘,一次矢量长度计算相当于一次点乘),后者又对又快。

                

               S(ABC)  = AB.CrossProduct(AC);//*0.5;

               S(PAB)  = PA.CrossProduct(PB);//*0.5;

               S(PBC)  = PB.CrossProduct(PC);//*0.5;

               S(PAC)  = PC.CrossProduct(PA);//*0.5;

 

               if( S(PAB) + S(PBC) + S(PAC) == S(ABC)  )

                    return true;

               return false;

          

        另一种计算三角形面积的矢量方法是 1/2*a.CrossProdcuct(b) ,CrossProduct = ( y1*z2 - y2*z1 , x1*z2 - x2*z1, x1*y2 - x2*z1 )

               可以看到CrossProduct 的计算要比DotProduct多3个乘法计算,效率没有上面的方法高


方法3:三个向量归一化后相加为0

 

        这个方法很怪异,发现自http://flipcode.spaces.live.com/blog/cns!8e578e7901a88369!903.entry 下面的一个回帖

               
               

          如上图三角形ABC,P为AB外侧一点,N1,N2,N3 分别为BP,AP,CP的归一化矢量;NM为N1,N2夹角的角平分线

          可以看出角A-P-B是三角形内角,必然小于180度,那么角N1-P-N2等于A-P-B;NM是N1-P-N2的角平分线,那么角B-P-N等于角N-P-A,而CPN必然小于其中一个,

          即小于180/2 = 90度。结论是角N1,N2的合矢量方向与N3的夹角为锐角。所以N1,N2,N3的合向量模大于1.

          这里注意,N3不一定在N1,N2之间,不能假定N2-P-N3 和N3-P-N1这两个角一定是锐角

          同样可以推导出如果P在三角形内,N1+N2+N3必然小于0;若N1+N2+N3 = 0则P在三角形的边上。

          有没有更简单的推导方法?

          

          这个方法看起来很精巧,但是善于优化的朋友会立刻发现,三个矢量归一化,需要三个开方。迭代式开方太慢了,而快速开方有的时候又不满足精度要求。

                  

 方法4:重心坐标之和为1

 

         {

               BaryCenter = ( S(PAB)/S(PABC),S(PBC)/S(PABC),S(PAC)/S(PABC)) // 点P在三角形内的重心坐标

          

               if( BaryCenter.x + BaryCenter.y + BaryCenter.z >0.f )

                    return false

               return true;

          }

 

          其中S(PAB),S(ABC),S(PBC),S(PBC) 用上述的方法二种提到的计算三角形面积方法计算。 

 

综合比较

     方法1必须求叉乘,虽然可以通过首先排除不在平面内的点,但是后面仍要求三个叉乘和3个点乘(当然还可排除法优化)

     方法2看起来之需要求4个点乘,如果用叉乘方法计算面积,可能会导致效率低下

     方法3是看起来是最精巧的方法,但是效率也不能保证...3个开方

     方法4和方法2的效率差不多

 

 

转载于:https://www.cnblogs.com/cgwolver/archive/2008/07/31/1257611.html

### MATLAB 中判断点是否位于三角形内部的方法 在MATLAB中,可以通过多种方法来判断一个点是否位于由给定顶点定义的空间三角形内。一种常用且高效的方式是基于向量叉积的判定方法[^1]。 #### 向量法原理 该方法利用了三维空间中的向量关系来进行判断。对于不在同一平面内的四点 \(P\) 和 \(\triangle ABC\) 的三个顶点: - 计算从三角形的一个顶点到其他两个顶点以及待测点形成的三条边对应的向量; - 使用这些向量之间的叉乘结果来决定方向性和相对位置; - 如果这三个叉乘的结果都指向相同的一侧,则说明测试点处于三角形之内;反之则在外。 具体来说,设有点\( P(x_p,y_p,z_p)\),要检测其相对于\(\triangle ABC\)的位置,可以按照如下方式操作: ```matlab function inside = isPointInTriangle(P,A,B,C) % 定义各条边上单位向量 AB = B - A; AC = C - A; AP = P - A; BC = C - B; BP = P - B; CA = A - C; CP = P - C; % 叉乘得到法线方向 n1 = cross(AB,AC); n2 = cross(AP,AB); n3 = cross(BP,BC); n4 = cross(CP,CA); % 判断符号一致性 d1 = dot(n2,n1)>0; d2 = dot(n3,n1)>0; d4 = dot(n4,n1)>0; inside = all([d1,d2,d4]); end ``` 此函数接收四个参数——分别是表示目标点和构成三角形三顶点坐标的列向量,并返回逻辑值指示输入点是否落在指定区域内。 另外还有一种更简洁的办法就是采用面积比较的方式来解决问题,即当某一点使得原三角形被分割成的小三角形总面积等于原始大三角形时,那么这个点就在原来的那个三角形里面[^2]。 然而上述两种方案均适用于二维平面上的情形,在处理实际工程应用里的立体几何对象之前还需要额外考虑一些因素以确保准确性[^4]。
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