（转帖）离散函数（1.2.6）

（转自ACM……呕耶！ ）

原帖地址：http://blog.youkuaiyun.com/magicnumber/archive/2010/08/08/5796126.aspx

                                 暴力之简单枚举 收藏

暴力之简单枚举

优点：算法简单，容易编程实现，正确性易证明

缺点：速度慢，时间复杂度高

重点，对于题目的分析，寻找优化的方法。

对于枚举法，应该要权衡枚举的时间代价和所得到的信息量的关系。

例如（黑书思考题 1.2.6 ）离散函数，给定一个离散函数，为集合 {1,2.....n}，取值为 -2^32--2^32 ，找出函数图像上两个点，是的函数在这两点之间的点都在连线的下方，且此连线的斜率尽量大。

n很大的时候容易超时，可是有个 O(n) 的算法。这题很显然想到枚举任意两个点求是否符合条件，如果满足则进行斜率的比较。可是，对于任意三点 A1,A2,A3 ，如果 A1 与 A3 连接有 A2 在连线下方，则 A1A3 的斜率一定介于 A1A2 和 A2A3 之间，那么可以得出，中间有隔着点的情况即使满足条件也不可能是最优解，因此，我们只需要枚举相邻两个点即可，扫描一遍所有点的时间复杂度为 O(n) 。

 

翻硬币（黑书习题1.2.5 ）说有 N(N<=10000) 行硬币，每行 9 个，排成一个 N*9 的方阵，硬币有的正面朝上，有的正面朝下，可以进行的操作时把一整行或者一整列的所有硬币翻过来，问怎么翻能够使得正面朝上的硬币尽量多。很显然，列数远远少于行数，那么，我们完全可以枚举列数 ( 枚举行数是自杀行为… ) 是否有翻转，也就是说枚举每列的翻转情况，要么翻，要么不翻，时间复杂度为 2^9=512 ，之后用贪心法扫描每行，如果该行反面的硬币数量大于正面的，那么就翻过来，否则不翻，这样总时间复杂度为 O(N*2^9) ，如果直接枚举，由于每行每列要么翻要么不翻，显然时间复杂度为 (2^(9*N)) ，由此可见，通过研究题目的特点可以大大降低时间复杂度，使得原来看起来不能枚举的题目变得可能。

 

此外，枚举待求数据的一小部分来进行推理也不失为一种好方法。例如2003 年亚洲区赛广州赛区的一题，给一个数 n ，问是否可以由多个不同数的阶乘相加得来。这题看起来像是 0/1 背包，但是如果直接用枚举做可以让代码变得更简洁些。

现在要先来研究一个问题，就是n!>=0!+1!+...+(n-1)! （ ps ：我依旧不会证明，但是打表出来显然成立…）当 n=0 的时候取等号。

那么，这道题的解法就显而易见了，当一个给定的数k ，从大数的阶乘往小数阶乘扫描，如果大数阶乘 i ！小于等于给定的 k 时，执行 k=k-i!( 为什么要马上减去不用考虑其他的？ ) ，直到全部减完，如果 k==0 ，那么说明给定的 k 满足条件，否则不满足条件。而为什么不需要考虑其他的呢？因为根据刚才的不等式， k-i ！ >=0 而不减，那么剩下的 0!+...+(i-1)! 即使都减去也没办法让 k 最终减完等于 0 。另外这题需要注意的是， 0 ！ =1 ，最后结果是 0 输出 yes ，那么如果一开始的 k 给的就是 0 呢？那么需要判断一下刚开始给的数是否是 0 ，如果是的话直接输出 NO ，不是的话才进行循环。 ( 容易 WA 在这个地方… )