6、公钥密码系统及其底层数学问题概述

公钥密码系统及其底层数学问题概述

在当今数字化时代，数据安全至关重要。密码学作为保障数据安全的重要手段，经历了漫长的发展历程。本文将深入探讨现代密码学的主要工具，重点关注公钥密码系统及其底层的数学问题。

1. 复杂性理论基础

在密码学中，算法的效率评估通常不关注具体的基本操作次数，而是关注问题规模增大时算法的可扩展性。问题规模一般指定义问题参数所需的位数，例如处理自然数的算法，数的大小用其对数表示，对数的底数不影响复杂度分析。

实践中，算法可分为多项式算法和指数算法。多项式算法的复杂度能用问题规模的多项式表示，随着问题规模增大，其复杂度平稳增长；而指数算法复杂度增长迅速，通常被认为不可行。常用的大O符号用于描述算法复杂度，例如函数 $C(n)=2n^3 + 3n^2 - n + 4$ 可表示为 $C(n)=O(n^3)$。

评估算法复杂度时，常见的错误是误解问题规模的含义。例如，搜索整数 $N$ 的质因数，简单算法复杂度为 $O(\sqrt{N}) = O(N^{1/2})$，但问题规模是 $n = log N$，实际复杂度为 $O(e^{n/2})$，属于指数复杂度。

算法复杂度可涉及时间和空间等参数，若算法在任何参数上是指数复杂度，则通常不可行。以复杂度为 $C=O(2^n)$ 的函数为例，其在不同 $n$ 值下所需的时间和空间如下表所示：
| n | 时间 | 原子数 |
| — | — | — |
| 2 | 4 微秒 | 4 |
| 5 | 32 微秒 | 32 |
| 10 | 1 秒 | 1024 |
| 20 | 17 分钟 | $10^7$ |
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