9、概率分布知识全解析

概率分布知识全解析

1. 概率基础示例

在一个包含 12 个神经元的有限总体中，有 2 个中间神经元和 10 个锥体神经元。当进行无放回的三次抽样时，选取 1 个中间神经元和 2 个锥体神经元的概率计算如下：
$p(1|2,10,3) = \frac{\binom{2}{1}\binom{10}{2}}{\binom{12}{3}} \approx 0.41$
中间神经元的期望数量为：$E[X] = \frac{2\times3}{12} = 0.50$

2. 单变量连续分布

2.1 连续随机变量

连续随机变量的结果数量是不可数的。每个连续随机变量都有一个相关的概率密度函数（pdf）$f(x)$，需满足以下条件：
1. $f(x) \geq 0$，$x \in R$。
2. $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
3. $p(a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx$。

连续随机变量$X$的累积分布函数（cdf）$F(x)$定义为：$F(x) = p(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt$。在给定区间的概率可表示为$p(a < X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$。

连续概率分布的众数$x_{mode}$是最可能出现的$x$值，即$x_{mode} = \arg\max_{x} f(x)$。

设$F^{-1}(\cdot)$为 cdf 的逆函数。若$F(x)$是变量$X$的 c