2、模态逻辑与概率时态逻辑中的算法可定义性与完备性

模态逻辑与概率时态逻辑中的算法可定义性与完备性

1. 模态逻辑中的算法可定义性与完备性

1.1 模态语言的特性

模态语言有时能够描述相应语义结构的抽象属性。例如，模态公式 □p ⇒ p 在克里普克框架 (W, R) 中为真，等价于关系 R 具有自反性。我们称自反性条件 (∀x)(xRx) 是模态公式 □p ⇒ p 的一阶等价式，或者说该公式可由条件 (∀x)(xRx) 一阶定义。此外，将公式 □p ⇒ p 添加到最小模态逻辑 K 的公理中，可得到关于自反框架类的完备逻辑，其完备性证明可通过模态逻辑中著名的典范方法完成，这类公式被称为典范公式。

1.2 算法方法的重要性

可定义性和完备性是模态逻辑应用中的良好特性，因此拥有建立这些特性的算法方法至关重要。下面将介绍几种解决此问题的算法方法。

1.3 萨奎斯特定理

萨奎斯特定理是这类算法结果中的经典。它通过直接的语法定义描述了一类大型的有效模态公式（后续称为萨奎斯特公式），这些公式是一阶可定义且典范的，并且提供了计算其一阶等价式的算法。长期以来，萨奎斯特公式类被认为是具有这两个属性的最优语法定义类。不过，萨奎斯特定理最近在多个方面得到了推广，极大地扩展了原始的萨奎斯特类，以适用于最通用的模态语言。但这种扩展方式存在一些不足，扩展的定义相当复杂，扩展类中的公式有许多语法限制。

1.4 基于二阶量词消去的算法

另一种仅与模态可定义性相关的算法方法，利用了寻找模态公式的一阶等价式是二阶量词消去的特殊情况这一事实。文献中有两种基本算法用于此目的：
- SCAN ：由加贝和奥尔巴赫引