【凸优化】凸集保留凸性的几个方式（交集、仿射变换、投影、线性分式变换）

1. 交集

几个凸集的交集仍然是凸的

2. 仿射变换

关于仿射变换的讲解参看 https://blog.youkuaiyun.com/robert_chen1988/article/details/80498805

3. 投影（perspective function）

一个投影函数 (perspective function) 的定义是：
$$P(x,t)=x/t\text{dom}P=\{(x,t)\mid t>0\}$$

投影函数将原函数降了一维，它的作用是得到原函数在该维度的倒影。举例：若 $x_3>0$
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{x}_1/x_3\\ x_2/x_3\end{array}\right]$$

其中， dom 表示定义域

一个凸集经投影函数变换后凹凸性不变。

4.线性分式变换（linear fractional transformation）

假设一个仿射函数为：
$$g(x)=\left[\begin{array}{c}A\\ C^T\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$$
它的投影函数：
f=Ax+bcTx+ddom{x∣CTx+d>0}f=\frac{Ax+b}{c^Tx+d}\qquad \textbf{dom}\{x\mid C^Tx+d>0\}f=cTx+dAx+b​dom{x∣CTx+d>0}

就是函数 $g$ 的线性分式变换，显然凹凸性不变。