经典的序列dp问题

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#动态规划 #leetcode #算法

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本文探讨如何在给定数组中找到最长递增子序列，当元素差值限制在kk范围内时，通过将朴素O(n^2)方法改进为线段树数据结构，实现在O(n log n)的时间复杂度下求解。介绍了如何利用线段树维护前缀最大值并更新dp数组。

序列dp

最长递增子序列
- 变形

最长递增子序列

问一个长度为 $n$ 的数组 $a [i]$ 的最长上升子序列长度
这个问题非常简单了，朴素方法 $O(n^2)$ 的转移即可，可以二分优化到 $O (n l o g n)$

变形

https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence-ii/

现在加一个限制条件，要求相邻元素差值不能超过 $k$ ，怎么办？我们也能很简单的写出 $O(n^2)$ 的状态转移即设 $d p [i]$ 表示前 $i$ 个数的最长递增子序列，有 $dp[i]=(\max\limits_{j<i,a[j]<a[i],a[i]-a[j]\leq k}dp[j])+1$ ，但是这里 $a [i]$ 和 $n$ 的范围都是 $1,10^5]$ ，所以寻找前缀最大值的时候需要 $O (l o g n)$ 的时间复杂度，考虑使用线段树维护前缀值域，每次找最大的一个，然后更新当前值，因为同一个值新的必然比旧的更优

class Solution{
  int mx;
  // 线段树维护[l, r]满足条件的最大子序列长度
  vector<int> segtree;
public:
  int query(int o, int l, int r, int ql, int qr){
    if(ql > r || qr < l) return 0;
    if(ql <= l && r <= qr){
      return segtree[o];
    }
    int ans = 0;
    int mid = ((r - l) >> 1) + l;
    if(ql <= mid){
      ans = max(ans, query(o << 1, l, mid, ql, qr));
    }
    if(mid < qr){
      ans = max(ans, query(o << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr));
    }
    return ans;
  }
  void modify(int o, int l, int r, int p, int val){
    if(l == r){
      segtree[o] = max(segtree[o], val);
      return;
    }
    int mid = ((r - l) >> 1) + l;
    if(p <= mid){
      modify(o << 1, l, mid, p, val);
    }else{
      modify(o << 1 | 1, mid + 1, r, p, val);
    }
    segtree[o] = max(segtree[o << 1], segtree[o << 1 | 1]);
  }
  int lengthOfLIS(vector<int>& nums, int k) {
    int n = (int)nums.size();
    int ans = 0;
    mx = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    segtree.resize(4 * mx + 1);
    for(int i=0;i<n;i++){
      int x = 1;
      if(nums[i] != 1){
        x = query(1, 1, mx, max(1, nums[i] - k), nums[i] - 1) + 1;
      }
      ans = max(ans, x);
      modify(1, 1, mx, nums[i], x);
    }
    return ans;
  }
};