2021 Jiangxi Provincial Collegiate Programming Contest G题Magic Number Group - 莫队求区间质因子出现最多的次数

原创已于 2022-03-16 15:40:00 修改 · 390 阅读

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#算法 #c++

于 2022-03-16 01:09:11 首次发布

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这篇博客讨论了一种使用莫队算法处理质因子计数查询的方法。作者通过预处理每个数字的质因子，并采用优化的排序策略，实现了在10^4级别的查询效率。博客中详细介绍了代码实现，包括如何维护质因子出现次数和出现次数为i的质因子数量，并展示了两种不同的排序方式对性能的影响。最后，给出了完整的C++代码示例。

问题很直观，因为一个数的质因子个数很少，而且数字个数和查询次数都是 $10^4$ 级别，所以考虑直接莫队暴力
此题是经典莫队，使用两个数组分别记录每个质因子的出现次数和出现次数为 $i$ 的质因子数量，方便统计答案，每当查询的时候，注意左右端点的移动对这两个数组的影响
实测采用基本的排序方式也就是左端点按块从小到大，如果相同则按右端点从小到大排序即可通过；但是如果使用优化的排序方式即左端点所在块为奇数按右端点从小到大（同为奇数则按照块的顺序从小到大），否则按照右端点从大到小这种排序方式能快 $80 m s$ 左右，后者更优
如果使用 $nnn\sqrt n$ 的埃筛预处理出所有的质因子会 $T$ 掉，这里选择使用求质因子最简单的办法，就是欧拉函数用的那个，求第 $i$ 个数字的质因子都是谁，这样就不会 $T$ 掉，就很玄学

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e6 + 5;
vector<int> fac[N];// 记录第i个数的质因子
int num[N];// 因子i的出现次数
int cnt[N];// 出现次数为i的因子的个数
int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  int t;
  cin >> t;
  while(t--){
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<int> a(n + 1), belong(n + 1);  
    int block = sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
      cin >> a[i];
      belong[i] = (i - 1) / block + 1;
      fac[i].clear();
      int x = a[i];
      for(int j=2;1ll*j*j<=1ll*x;j++){
        if(x % j == 0){
          while(x % j == 0){
            x /= j;
          }
          fac[i].push_back(j);
        }
      }
      if(x > 1) fac[i].push_back(x);
    }
    vector<array<int, 3> > ask(q);
    for(int i=0;i<q;i++){
      cin >> ask[i][0] >> ask[i][1];
      ask[i][2] = i;
    }sort(ask.begin(), ask.end(), [&](array<int, 3> x, array<int, 3> y){
      // 常规排序
      // return belong[x[0]] == belong[y[0]] ? x[1] < y[1] : belong[x[0]] < belong[y[0]];
      // 奇偶性排序
      return (belong[x[0]] ^ belong[y[0]]) ? belong[x[0]] < belong[y[0]] : ((belong[x[0]] & 1) ? x[1] < y[1] : x[1] > y[1]);
    });
    vector<int> ans(q);
    int res = 0;
    function<void(int)> ADD = [&](int x){
      for(auto j : fac[x]){
        cnt[num[j]] -= 1;
        num[j] += 1;
        cnt[num[j]] += 1;
        res = max(res, num[j]);
      }
    };
    function<void(int)> SUB = [&](int x){
      for(auto j : fac[x]){
        cnt[num[j]] -= 1;
        if(cnt[num[j]] == 0 && num[j] == res){
          res -= 1;
        }
        num[j] -= 1;
        cnt[num[j]] += 1;
      }
    };
    int l = 1;
    int r = 0;
    for(int i=0;i<q;i++){
      while(l > ask[i][0]) ADD(--l);
      while(r < ask[i][1]) ADD(++r);
      while(l < ask[i][0]) SUB(l++);
      while(r > ask[i][1]) SUB(r--);
      ans[ask[i][2]] = res;
    }
    for(int i=0;i<q;i++){
      cout << ans[i] << '\n';
    }
    while(l <= r){
      SUB(l);
      l += 1;
    }
  }
  return 0;
}