2021 ICPC 上海 H. Life is a Game 树上倍增+kruskal重构树

最新推荐文章于 2024-06-18 23:03:44 发布

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#算法

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这篇博客探讨了一种将kruskal算法应用于图论问题的方法，特别是关于在给定起点、积分限制和点权的无向图中，寻找从起点到终点最大得分路径的问题。通过构建kruskal重构树，将问题转化为从叶子节点到根节点的最大得分路径计算，并使用树上倍增策略。博客提供了详细的算法实现和代码示例。

给你一个无向图，每个点有一个点权，从 $u - > v$ 的边权为 $w$ ，给定一个出发点 $u$ ，你当前积分为 $k$ ，如果想去 $v$ ，那么你手里的积分要 $≥w\geq w$ ，每当走到一个新的点就可以得到这个点的权值，每个权值只能得到一次，问你最后最多手里有多少分
考虑对整个图建立 $k r u s k a l$ 重构树，叶子节点就是这些点， $s z [i]$ 表示以 $i$ 为根的树的点权和， $v a l [i]$ 表示 $i$ 通过节点的需要的最小分数。这样问题就转换成了从叶子节点到根节点所能得到的最大分数，由于 $k r u s k a l$ 重构树的性质，我们可以从叶子到根结点树上倍增，直到找到一个节点是无法通过的，统计子树和即可

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2e5 + 20;
struct st{
  int u, v;
  ll w;
  bool operator < (const st &B)const{
    return w < B.w;
  }
}vs[N];
int s[N];
ll sz[N], val[N];
int FIND(int x){
  return x == s[x] ? x : s[x] = FIND(s[x]);
}
int f[N][30];
ll d[N][30];
vector<int> g[N];
void Dfs(int u){
  for(auto v : g[u]){
    f[v][0] = u;
    Dfs(v);
    sz[u] += sz[v];
  }
  d[u][0] = val[f[u][0]] - sz[u];// u到达父亲节点至少需要多少额外分数
}
int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  int n, m, q;
  cin >> n >> m >> q;
  iota(s, s + N, 0);
  memset(val, 0x3f, sizeof val);
  memset(d, 0x3f, sizeof d);
  for(int i=1;i<=n;i++) cin >> sz[i];
  for(int i=0;i<m;i++){
    cin >> vs[i].u >> vs[i].v >> vs[i].w;
  }sort(vs, vs + m);
  for(int i=0;i<m;i++){
    int u = FIND(vs[i].u);
    int v = FIND(vs[i].v);
    int w = vs[i].w;
    if(u == v) continue;
    n += 1;
    s[u] = s[v] = n;
    g[n].push_back(v);
    g[n].push_back(u);
    val[n] = w;// 点权
  }
  Dfs(n);
  for(int i=n;i>=1;i--){// 从大到小因为必须要先算出d[f[i][j - 1]][j - 1]才能取最大值
    for(int j=1;j<=20;j++){
      f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
      d[i][j] = max(d[i][j - 1], d[f[i][j - 1]][j - 1]);// 取两段最大值
    }
  }
  while(q--){
    int x;
    ll k;
    cin >> x >> k;
    if(d[x][0] > k){
      cout << k + sz[x] << '\n';
      continue;
    }
    for(int i=20;i>=0;i--){
      if(k >= d[x][i]){
        x = f[x][i];
      }
    }
    cout << k + sz[x] << '\n';
  }
  return 0;
}