分治法求解平面最近点对问题

问题描述

给出一个平面内的若干个点，问这些点两两之间的最近距离是多少
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• 暴力自不必说，两个$for$挨个看，时间复杂度是$O(n^2)$，可以通过数据较小的测试

分治求解

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• 这里我们可以回忆一下归并排序是怎么做的，如何达到$O(nlogn)$的时间复杂度，采用的即是分治思想，也就是把一组数据对半分成两部分，继续划分，直至最小，排序拼回原数组，再排序，再拼回，直至全部排序完成

• 那么借助这个想法，我们能不能把平面上的点分成两部分分而治之呢？
  

• 我们想求上图任意两个点之间的最近点对，首先，要对这些点进行递归划分，根据分治的思想，我们先将其分成两部分，然后递归下去，按横坐标从小到大进行划分，直到最后的一个点或者两个点，可以得到如下的划分图，线条长度代表递归的深度，长度越长递归深度越小
  

• 我们可以先考虑一下第一次划分之后，如何求最近点对，因为我们知道，这两个点要么都在左面，要么都在右面，要么一个在左面，另一个在右面，在同一个方向的时候只需要递归处理即可，关键是位居两侧时候怎么办，因为这时候我们已经求出左面和右面的最小值$dis$，那么位居两侧的可能点有哪些呢？我们应该把这些点筛选出来，如果存在这样的一个点对，则点对中的两个点和划分线之间的距离都应该在$dis$以内，也就是说如果$fabs(x_{mid}-x_1)<dis$，这里的$mid$是靠近中间划分线的点（黑书中写的是$\le$，似乎应该是小于，因为如果$x$的差值等于$dis$，那么这两个点之间距离不可能小于 d i s dis