树链剖分----使用线段树维护

最新推荐文章于 2025-09-11 20:41:07 发布

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本文介绍了如何通过轻重链剖分算法将树结构划分为重链，并利用线段树进行高效维护。重点讲解了dfs1和dfs2搜索过程，以及如何利用两次搜索结果构建线段树结构，包括区间操作和倍增思想的应用实例。

轻重链剖分

概述
- 轻重链和轻重儿子
具体过程
练习
- 倍增思想

概述

树链剖分的核心思想就是把一棵树分成若干条链并使用一定的数据结构对每条链进行维护，下面都采用线段树进行维护。一种常用方法就是按照轻重链对树链进行划分

轻重链和轻重儿子

我们知道一个根节点可以有多个子节点，以子节点为根的子树节点数最多的那一个子节点就叫做重儿子，否则就是轻儿子；把每个节点和它的重儿子连在一起组成的一条边叫做重边；由多条重边组成的链就叫做重链

具体过程

考虑一下，我们现在想对一棵树进行树链剖分，那么我们首先要知道这棵树的一些信息，比如每一个节点的重儿子是谁，每一个节点的父节点是谁，节点深度，以及每一个节点对应到线段树上的标号也就是这棵树的 $d f s$ 序
要想得到这些信息，我们需要对这棵树进行搜索，以下图为例
现在的标号是树的节点的序号，而不是线段树维护的序列，所以我们需要把这些序号对应到线段树上去，也就是重写这些序号，这个操作在第二次 $d f s$ 中完成

两次搜索

这两次搜索分别处理轻重儿子和线段树标号的问题

dfs1

$s z [i]$ 表示 $i$ 节点的子树节点个数， $d e p t h [i]$ 表示 $i$ 节点的深度， $f [i]$ 表示节点 $i$ 的父亲节点， $s o n [i]$ 表示 $i$ 节点的重儿子，进行一次 $O (n)$ 的 $d f s$ ，

int son[MAXN];
int depth[MAXN];
int f[MAXN];
int sz[MAXN];
void dfs1(int u, int fa, int dep){
   
   
    sz[u] = 1;
    f[u] = fa;
    depth[u] = dep;
    int maxson = -1;
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
   
   
        int v = edge[i].to;
        if(v == fa) continue;
        dfs1(v, u, dep + 1);
        sz[u] += sz[v];
        if(sz[v] > maxson){
   
   
            maxson = sz[v];
            son[u] = v;
        }
    }
}

稍微解释一下 $m a x s o n$ ，它的意思是当前节点 $u$ 的可能的重儿子的子树节点数，直到遍历完 $u$ 的所有儿子，最后确定重儿子到底是谁

dfs2

我们得到 $d f s 1$ 中的信息之后，开始 $d f s 2$ ，这一次我们的目的是找重链，并按照轻重链重新给树上的节点标号，如下图
这里面我标记红色的就是重链
那么进行这样的轻重链剖分的好处是什么呢，或者说有什么用
我们可以发现，现在这棵树已经被划分成了若干条重链，一条重链上的序号都是连续的，同一棵子树里面的节点的 $d f s$ 序也是连续的，我们就可以利用这个性质来进行线段树的维护

int top[MAXN];
int wt[MAXN];
int id[MAXN];
int Data[MAXN];
int dfn;
void dfs2(int u, int topf){
   
   
    top[u] = topf;
    id[u] = ++dfn;
    wt[dfn] = Data[u];
    if(!son[u]) return;
    dfs2(son[u], topf);
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
   
   
        int v = edge[i].to;
        if(v == son[u] || v == f[u]) continue;
        dfs2(v, v);
    }
}

$t o p [i]$ 表示 $i$ 节点所在重链的顶端节点， $i d [i]$ 表示 $i$ 号节点经过重新编号之后所对应的号码， $d f n$ 为时间戳也就是 $d f s$ 序， $D a t a [i]$ 表示开始的点权， $w t [i]$ 表示经过重新编号之后的点权
程序应该比较好理解，不做解释

线段树维护

首先线段树我们应该是会的，那么新树已经产生了，现在我们想把每一条链都用线段树进行维护，正好维护的是 $1 - n$ 这么一个区间，因此，我们可以设立如下的线段树结构，并建立一棵线段树

struct SegmentTree{
   
   
    int value;
    int lazytag;
}segtree[MAXN];
void Push_Up(int Root){
   
   
    //
}
void Build_Tree(int Root, int L, int R){
   
   
    if(L == R){
   
   
        segtree[Root].lazytag = 0;
        segtree[Root].value = wt[L];
        return;
    }
    int mid = ((R - L) >> 1) + L;
    Build_Tree(Root << 1, L, mid);
    Build_Tree(Root << 1 | 1, mid + 1, R);
    Push_Up(Root);
}