欧拉函数原理及练习

问题引入

现在有一个问题，给定一个数n，求出1～n和n互质的数的个数

• 暴力做法，for一遍，求每一个数和n的GCD，如果结果为1，即为合法答案。这种做法应该说在n比较小的时候还是可以的，如果n比较大，还不够好

欧拉函数原理

• 欧拉函数可以解决这个问题，设f为欧拉函数，f(x)的含义就是1～x与x互质的元素个数
• 首先要知道欧拉函数是一个积性函数，什么是积性函数？顾名思义就是形如
  $$f(xy)=f(x)\times f(y)$$这样的就叫做积性函数，如何证明？我暂时不想看，等数论书到了再补充吧，暂时知道这是个积性函数就行，也没影响
• 那么算术基本定理是我们都知道的，就是大于一的数总可以写成
  $$p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}......p_k^{e_k}$$的形式，其中p是质数，那么
  $$f(p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}......p_k^{e_k})=f(p_1^{e_1})\times ...\times f($$