4173: 数学欧拉函数思路题

最新推荐文章于 2025-05-21 11:04:14 发布

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本文详细解析了一道算法题目中的关键数学条件n%k+m%k≥k的化简过程，并通过具体实例解释了如何将其转化为更简单的形式⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋=1。此外，还提供了C++实现代码，展示了如何利用欧拉函数φ(k)解决该问题。

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好题。。
膜PoPoQQQ大爷
由于我太弱。。所以看题解的时候有很多地方想了一会儿才明白。
其实重点就是限定条件n%k+m%k≥k化简到这个式子⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋=1的理解。
首先化到⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋>=1是容易的，只要将取模换成整除然后同时除以k，如果没有下取整，即n+m/k−n/k−m/k是显然为0的，而如果带上取整，最特殊的情况是这样：不妨用p来表示模数，n=m=k*p+p-1,则⌊n/p⌋=⌊m/p⌋=k，而n+m=(2*k+1)*p+p-2,则⌊n+m/k⌋=2*k+1,也就是说⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋这个式子的取值只有0或1两种可能，因此就可以把>=化成=了。
∑n%k+m%k≥kφ(k)
=∑k=1..n+mφ(k)∗⌊n+m/k⌋−∑k=1..mφ(k)∗⌊n/k⌋−∑k=1..mφ(k)∗⌊m/k⌋
这一步化简其实就是如果⌊n+m/k⌋−⌊n/k⌋−⌊m/k⌋=1则计入答案φ(k)否则不会计入。
至于最后一步∑i=1..n ∑i=1..n ∑k|iφ(k)=∑k=1..nφ(k)∗⌊n/k⌋就比较简单了。
对于这种化公式的题还要多多练习呀。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long 
#define M 998244353
using namespace std;
ll n,m;
ll phi(ll n)
{
    ll tmp=n,m=sqrt(n);
    for (ll i=2;i<=m;i++)
        if (n%i==0)
        {
            tmp-=tmp/i;
            while (n%i==0) n/=i;
        }
    if (n>1) tmp-=tmp/n;
    return tmp;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    cout << (phi(n)%M)*(phi(m)%M)%M*(n%M)%M*(m%M)%M << endl;
    return 0;
}