ZOJ Monthly, January 2019 -A.Little Sub and Pascal's Triangle

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数学上来先打表

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探讨了如何通过递归算法解决杨辉三角中奇数元素的计数问题，利用预处理2的幂次表加速查找，实现了高效计算。

题目连接http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showContestProblem.do?problemId=5851

题意

给定k，问杨辉三角第k层有多少个奇数（题目给的杨辉三角的数字是对2取模后的也就是只有0和1）。

思路

听说是卢卡斯定理，不过不记得（也许是不会= =）所以用递归做的。

依题意，所以可以直接理解为第k层的加和为多少。然后根据以下规律

1.第 $2^{n}$ 层全为奇数（也就是全是1），这层的答案相当于是第几层

2.第k层的中间连续的偶数个数为 $2^{n}$ （>k）层与k层的差，即，中间连续偶数的个数 = $2^{n}-k$

3.因为杨辉三角左右对称，将中间的0去掉后，第k层的答案就变成了两倍 $2*k-2^{n}$ 层的答案

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll p[65]={1};//因为使用递归，每次都需要找出>=k的2的幂是多少，所以先打表
ll k,ans;

void f(ll k,ll cnt)    //cnt表示当前是否需要*2
{
    int flag;
    for(int i=0; i<65; i++){    //找到第一个>=k的2的i次幂
        if(p[i]>=k){
            flag = i;
            break;
        }
    }
    if(p[flag] != k){    //相等则此层中间没有0，否则把0的个数减去，且需要继续计算左右两边中间有多少个0
        if(cnt){    //不为零时，表示一次算的是两边的中间零的个数（杨辉三角是对称的）
            ans -= (p[flag]-k)*2;
        }
        else{
            ans -= (p[flag]-k);
        }
        ll t = ans/2;
        f(t,cnt+1);
    }
}

int main()
{
    ll t;
    for(int i=2; i<65; i++){//初始化2的幂
        p[i] = p[i-1]*2;
    }
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld",&k);
        ans = k;    //因为杨辉三角n层有n个数，ans初始化为k
        f(k,0);     //递归，0表示第一次算，减去中间0的个数时不用乘2
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}