14、多维建模与马尔可夫随机场知识解析

多维建模与马尔可夫随机场知识解析

1. 多维建模的表示形式

在多维建模中，存在八种表示形式，这些形式的差异基于三个基本方面的选择：表示模型或其平方根、确定性约束与统计建模，以及全/密集矩阵与稀疏矩阵或卷积核。

对于最后一个方面，核实际上是矩阵的一种隐式、高度稀疏的表示。如果问题具有高度非平稳性，常规的稀疏矩阵方法更为简单；若问题大多是平稳的，存储核并跟踪非平稳异常（如边界和不连续处）可能更容易。

而前一个方面更为重要。所有的 (L)、(L)、(A)、(\Gamma) 都是有效的，但直接指定 (L^TL)、(Q)、(P) 必须保证半正定性。对于平稳问题，这个要求很容易满足，但对于非平稳问题，确定性可能更加微妙。

一般来说，协方差 (P) 是密集的。对于基于约束的模型，如果 (L) 中的对角带数量（或者等价地，(L) 中的非零元素数量）为 (b)，那么 (Q = L^TL) 最多可能有 (b^2) 个带。因此，对于 (z \in R^n)，乘积 (x = Qz) 的复杂度为 (O(b^2n))，而分别计算 (y = Lz) 和 (x = L^Ty) 的复杂度为 (O(2bn))，但存储复杂度翻倍，因为需要在内存中存储 (y)。

在计算复杂度不是过高的情况下，与 (L)、(L) 中堆叠的约束集相比，(Q) 的存储需求减少，结构更简单、更均匀，这可能使得人们更倾向于选择 (Q)、(Q)。

2. 合成孔径雷达干涉测量应用

雷达干涉测量是图像处理和遥感中的一个有趣问题。像素处的复雷达回波相位与该像素处的目标距离成正比。可以从一颗卫星（如 Radarsat）的两个精确轨道位置获取两幅雷达图像，或者更好的是，从一