12、多维建模：确定性与统计模型解析

多维建模：确定性与统计模型解析

1. 多维矩阵运算复杂度对比

在多维建模中，矩阵运算的复杂度是一个关键考量因素。不同类型的矩阵（密集矩阵、带状矩阵和核矩阵）在各种运算下的复杂度有所不同。下面是一个对比表格：
| 运算 | 密集矩阵 | 带状矩阵 | 核矩阵 |
| — | — | — | — |
| 矩阵存储 | (O(n^2)) | (O(bn)) | (O(q)) |
| 矩阵 - 矩阵求和 | (O(n^2)) | (O(bn)) | (O(q)) |
| 矩阵 - 矩阵相乘 | (O(n^3)) | (O(b^2n)) | (O(q)) |
| 矩阵 - 向量相乘 | (O(n^2)) | (O(bn)) | (O(qn)) |
| 矩阵求逆 | (O(n^3)) | (O(n^3)) | (O(n\log n)) |
| 正定性测试 | (O(n^4)) | (O(n^4)) | (O(n\log n)) |

这里，底层问题 (z) 有 (n) 个元素，带状矩阵有 (b) 个带，核矩阵有 (q) 个非零元素。从这个表格中我们可以看出，不同矩阵类型在不同运算下的复杂度差异很大。例如，在矩阵 - 矩阵相乘运算中，密集矩阵的复杂度是 (O(n^3))，而核矩阵的复杂度仅为 (O(q))，这在处理大规模问题时会产生显著的性能差异。

2. 建模的挑战与标准

建模不仅仅是指定元素之间的关系，例如一个 (N \times N \times N) 立方体元素之间的相互关系。虽然发明或猜测一些统计关系的函数（如平稳模型的自相关函数 (f(i, j, k) = E[z(0, 0, 0)z