4、逆问题中的统计操作与海洋声学层析成像应用

逆问题中的统计操作与海洋声学层析成像应用

1. 动态问题基础

在动态问题里，我们有初始先验模型：
[z(0) \sim N(0, P_0)]
以及时间递归动态模型：
[z(t + 1) = A(t)z(t) + B(t)w(t)]
其中，过程噪声 (w(t) \sim N(0, I)) 是白噪声，且与 (z) 不相关，满足：
[E[w(t)w(s)^T] = \delta_{s,t}I]
[E[w(t)z(s)^T] = 0 \text{ if } t \geq s]
随着时间推移，会有过程测量值：
[m(t) = C(t)z(t) + v(t)]
其中 (v(t) \sim N(0, R(t)))。多维动态问题在视频数据处理中很常见。

2. 先验采样

• 基本概念 ：给定服从先验概率密度函数 (p(z)) 的随机变量 (z)，从先验分布采样意味着生成独立随机样本 (z_1, \cdots, z_q)。当样本集大小增加时，对随机变量 (z) 和样本 ({z_i}) 提出的任何统计问题会收敛到相同值，即：
  [\lim_{q \to \infty} \frac{1}{q} \sum_{i} f(z_i) \to E[f(z)]]
  对于服从先验模型 (z \sim (\mu, P)) 的随机向量 (z)，我们希望生成独立随机样本 (z_1, \cdots, z_q)，使得：
  [\frac{1}{q} \sum_{i} z_i \to \mu]
  [\frac{1}{q} \sum_{i} (z_i - \mu