6、矩阵的秩、逆与行列式相关知识解析

矩阵的秩、逆与行列式相关知识解析

1. 矩阵的基本空间与概念

矩阵是线性代数中的重要研究对象，一个实 $m×n$ 矩阵既可以看作是 $R^m$ 中的 $n$ 个列向量的集合，也可以看作是 $R^n$ 中的 $m$ 个行向量的集合。与矩阵相关联的有两个重要的向量空间：列空间和行空间。
- 列空间（Column Space） ：矩阵 $A$ 的列空间记为 $col A$，它是由矩阵 $A$ 的所有列向量的线性组合构成的集合，即 $col A := {x ∈ R^m : x = Ay$ 对于某些 $y ∈ R^n}$。
- 核空间（Kernel Space） ：矩阵 $A$ 的核空间（也称为零空间）记为 $ker A$，它是方程 $Ay = 0$ 的所有解的集合，即 $ker A := {y ∈ R^n : Ay = 0}$。
- 正交补（Orthogonal Complement） ：$col A$ 的正交补记为 $col^{\perp}(A)$，它等于 $ker A’$；$col A’$ 的正交补记为 $col^{\perp}(A’)$，它等于 $ker A$。并且有 $col A$ 和 $col^{\perp}(A)$ 是 $R^m$ 中的正交子空间，它们的维数之和为 $m$；$col A’$ 和 $col^{\perp}(A’)$ 是 $R^n$ 中的正交子空间，它们的维数之和为 $n$。同时，$col A$ 和 $col A’$ 具有相同的维数。

2. 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它反映了矩阵中线性无关的行或列的最大数