27、矩阵微积分：指数、对数、行列式、雅可比矩阵及黑塞矩阵的深入解析

矩阵微积分：指数、对数、行列式、雅可比矩阵及黑塞矩阵的深入解析

一、指数与对数运算的微分

1.1 矩阵指数的微分

• 特殊情况 ：对于任意常数方阵 $A$ 和变量 $x$，定义矩阵指数 $\exp(X) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}X^k$。对 $e^{xA}$ 求微分，有：
  [
  \begin{align }
  de^{xA} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(dx^k)A^k\
  &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}kx^{k - 1}A^k dx\
  &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k - 1)!}x^{k - 1}A^k dx\
  &= A\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(xA)^k dx\
  &= Ae^{xA} dx
  \end{align }
  ]
• 一般情况 ：对于 $e^X$，其微分 $d(e^X)$ 为：
  [
  \begin{align }
  d(e^X) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} dX^k\
  &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k - 1} X^j(dX)X^{k - j - 1}\