19、矩阵函数的约旦表示与多项式表示

矩阵函数的约旦表示与多项式表示

1. 约旦表示相关内容

1.1 斜对称矩阵的特征值与表示

设 (A) 是 (n\times n) 斜埃尔米特矩阵：
- 特征值形式 ：
- 若 (A) 是实矩阵（即斜对称矩阵），其特征值有两种形式，要么成对出现 (-\lambda,\lambda)，要么为零。因为 (|λI_n - A| = |λI_n - A’| = |λI_n + A| = (-1)^n |-λI_n - A|)，令第一个和最后一个行列式为零可得此结果。
- 一般情况下，(A) 的特征值是纯虚数，即 (-\lambda,\lambda) 是共轭对。设 (B) 是埃尔米特矩阵，(A := iB) 是斜埃尔米特矩阵，(B) 的特征值都是实数，(A) 的特征值是 (i) 乘以 (B) 的特征值。
- 行列式性质 ：
- 当 (n) 为奇数时，(A) 必有一个特征值为零，所以 (|A| = 0)。
- 当 (n) 为偶数时，共轭对 (-\lambda,\lambda) 的乘积 (|\lambda|^2 \geq 0)，所以 (|A| \geq 0)。
- 矩阵表示 ：若 (A) 是实矩阵，则 (A = S\Lambda S’)，其中 (S) 是正交矩阵，(\Lambda := diag(\Lambda_1, \cdots, \Lambda_m, O))，(m \leq n/2)，(\Lambda_i := \begin{bmatrix}0 & -\theta_i \ \theta_i & 0\end{bm