19、矩阵的Jordan表示与多项式表示深入解析

矩阵的Jordan表示与多项式表示深入解析

1. 斜对称矩阵的特征值与表示

斜对称矩阵在矩阵理论中有着独特的性质。设 (A) 为 (n\times n) 斜埃尔米特矩阵：
- 特征值形式 ：
- 若 (A) 为实矩阵（即斜对称矩阵），其特征值要么成对出现为 (-\lambda,\lambda)，要么为零。这可通过特征方程 (|\lambda I_n - A| = |\lambda I_n - A’| = |\lambda I_n + A| = (-1)^n |-\lambda I_n - A|) ，令第一个和最后一个行列式为零得出。
- 一般情况下，(A) 的特征值为纯虚数，即 (-\lambda,\lambda) 为共轭对。设 (B) 为埃尔米特矩阵，(A = iB) 为斜埃尔米特矩阵，由于 (B) 的特征值为实数，所以 (A) 的特征值为 (i) 乘以 (B) 的特征值。
- 行列式性质 ：
- 当 (n) 为奇数时，(A) 必有一个特征值为零，所以 (A) 是奇异的，即 (|A| = 0)。
- 当 (n) 为偶数时，共轭对 (-\lambda,\lambda) 的乘积 (|\lambda|^2\geq0)，所以 (|A|\geq0)。
- 矩阵表示 ：若 (A) 为实矩阵，则 (A = S\Lambda S’)，其中 (S) 为正交矩阵，(\Lambda = diag(\Lambda_1, \cdots, \Lambda_m, O))，(\Lambda_i = \begin{pmatrix}0 & -\theta_i \