23、布尔网络分析与线性表示

布尔网络分析与线性表示

1. 布尔网络基础与多项式表示

布尔网络是一种用于描述离散动态系统的数学模型，其状态更新遵循特定的布尔函数。对于一个自治布尔网络，其状态更新规则可以表示为：
[x(t + 1) = p(x(t))]
其中，(x(t) \in F_2^n) 是状态向量，(p \in F_2^n[x]) 是更新映射。

例如，通过特定公式可以得到一个多项式 (p(x))，使得对于所有 (\hat{x} \in F_2^2)，有 (p(\hat{x}) = \Lambda(\hat{x}))。具体的多项式 (p(x)) 如下：
[
\begin{align }
p(x) &= 1 \cdot (-x_1 + 1)(-x_2 + 1) + \pi \cdot (-x_1 + 1)x_2 - \sqrt{2} \cdot x_1(-x_2 + 1) + 0 \cdot x_1x_2\
&= (\pi - 1)x_2 + x_1((1 + \sqrt{2} - \pi)x_2 - \sqrt{2} - 1) + 1
\end{align }
]

2. 自治布尔网络的分析

自治布尔网络的性质可以通过分析其平衡状态和周期来研究。
- 平衡状态 ：一个状态 (\hat{x} \in F_2^n) 是布尔网络的平衡状态，当且仅当它满足方程 (x = p(x))。
- 周期状态 ：布尔网络存在长度为 (K) 的周期，当且仅当方程 (x = p \circ \cd