5、向量空间中的内积空间与希尔伯特空间

向量空间中的内积空间与希尔伯特空间

1. 子空间维度与和空间

在向量空间中，子空间的维度以及它们的和空间有着重要的性质。设 (A) 和 (B) 是向量空间 (V) 的有限维子空间，(A := {a_i}) 张成 (A)，(B := {b_j}) 张成 (B)。
- (A \cup B) 张成 (A + B) ：设 (\dim(A) = m)，(\dim(B) = n)，令 (C := {a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n})。因为 (A + B) 中的每个向量都可以写成 ({a_i}) 的线性组合加上 ({b_j}) 的线性组合，也就是 (C) 的线性组合，所以 (C) 张成 (A + B)。例如，在 (\mathbb{R}^3) 中，过原点的两个不同平面可以张成整个 (\mathbb{R}^3)。
- 若 (A \cap B = {0})，(A \cup B) 是 (A + B) 的基 ：假设 (a + b = 0)，其中 (a := \sum_{i = 1}^{m} \alpha_i a_i)，(b := \sum_{j = 1}^{n} \beta_j b_j)。那么 (a = -b \in B)，又因为 (a \in A)，所以 (a \in A \cap B = {0})，即 (a = 0)，同理 (b = 0)。由于 (A) 和 (B) 是基，可得 (\alpha_i = 0) 对所有 (i) 成立，(\beta_j = 0) 对所有 (j) 成立。这表明 (C) 中的 (m + n) 个向量线性无关，结合前面 (C) 张成 (A + B)，可知 (C) 是 (A + B) 的基