选举方法与公平分配问题解析

1、假设候选人A获得a张第一名选票，候选人B获得b张第一名选票，且a > b。分析候选人A和B在不同选举方法下的获胜情况。

1. 多数票法 ：由于多数票法根据候选人获得的第一名选票数量排名，A获得的第一名选票多于B，所以A会获胜。

2. 博尔达计数法 ：博尔达计数法根据选票上的名次分配分数并根据分数排名，仅知道第一名选票数量无法确定A和B谁能获胜，还需考虑其他名次的选票分布。

3. 逐轮淘汰法 ：若A获得了多数票（超过总票数一半），则A直接获胜；若没有多数票，会淘汰得票最少的候选人并将其选票转移给下一个候选人，仅知道a > b不能确定最终结果，需看后续选票转移情况。

4. 两两比较法 ：需要将A和B进行两两比较，以及他们与其他候选人两两比较，仅第一名选票数量不能确定谁在两两比较中获胜，要综合所有两两比较结果来确定最终获胜者。

2、给定一个加权投票系统，分析不同情况下的配额及其相关属性。

在加权投票系统中，配额是通过一项动议所需的最少票数，用字母 $ q $ 表示。常见标准是简单多数，但也可能有其他规定，如美国参议院不同事项有不同配额要求。

不同情况分析如下：

1. 正常情况 ：
   配额应大于总票数的一半但不超过总票数，即
   $$ V/2 < q \leq V $$
   以确保系统无混乱或僵局。

2. 配额过小 ：
   小于简单多数时，可能出现“是”和“否”双方都有足够票数通过动议的情况，导致类似“无政府状态”。

3. 配额过大 ：
   超过总票数时，任何动议都无法通过，形成“僵局”。

4. 特殊情况 ：
   - 如配额为 19 的例子中，需全体一致支持动议才能通过，此时所有参与者权力相同；
   - 而配额为 30 的例子中，某参与者的票数对最终结果无影响，其票形同虚设；
   - 还有参与者票数足以单独通过动议时，该参与者成为“独裁者”。

3、分析联盟中傀儡玩家与关键玩家的关系，以及傀儡玩家与其班扎夫权力指数和夏普里 - 舒比克权力指数的关系。

在联盟中，傀儡玩家是指永远不是关键玩家的玩家。若 $ P $ 是傀儡玩家，那么任何包含 $ P $ 的获胜联盟在去掉 $ P $ 后仍是获胜联盟。

从权力指数角度来看，$ P $ 是傀儡玩家当且仅当其班扎夫权力指数为 0，当且仅当其夏普里 - 舒比克权力指数为 0。

4、在分割者 - 选择者方法中，以分蛋糕为例，分析不同部分的价值、分割者和选择者的选择以及相关现金金额。已知整个蛋糕价值36美元，其中一人认为草莓部分价值是巧克力部分的两倍，分割者将蛋糕切成两半，选择者选择了含2块草莓和1块巧克力的一半。

分蛋糕案例分析

以安杰（Angie）和布拉德（Brad）分蛋糕为例：

• 安杰认为草莓部分价值是巧克力部分的两倍，即 2块巧克力部分价值等于1块草莓部分价值 。
• 若巧克力部分价值为 x ，整个蛋糕价值 36美元 ，可得方程：
  $$
  9x = 36
  $$
  解得：
  $$
  x = 4
  $$
  所以：
• 每块巧克力部分价值 4美元
• 每块草莓部分价值 8美元

布拉德作为分割者将蛋糕切成两半，安杰作为选择者选择了含有 2块草莓和1块巧克力 的那一半，在她看来这部分价值：
$$
2 \times 8 + 1 \times 4 = 20 \text{ 美元}
$$

最终结果：

• 布拉德得到的部分在他看来价值为蛋糕的一半，即 18美元
• 安杰得到的部分在她看来价值为 20美元 ，超过蛋糕价值的一半

从而实现了 公平分配 。

5、在独分者法中，分析分者和选者之间可能的地块分配情况以及这种分配方式的公平性。

在独分者法中，有一个分者和两个选者。分者将物品分成三份，选者分别表明自己认为的公平份额。

根据选者所选份额的情况，有两种分配方式：

1. 有两个或更多被选份额（C - 地块）时：
   - 可给每个选者从其投标列表中分配一个公平份额。
   - 分者获得剩余的一份，实现公平分配。
   - 若选者