04 磁力校准

magnetometer calibration

fit circle

一般式

$$x^2+y^2-ax-by-c=0$$
矩阵表示为：
$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=x^2+y^2$$
可以令 $X=(abc{)}^T$ 通过最小二乘法求解出结果

一般式加上约束

约束条件为$a^2+b^2-4c>0$ 由于 c是待求，则可修改为 $a^2+b^2-4c=1$
拉格郎日函数为:此条件下一般式最小二乘法最小值。
$$F(x)=(x^2+y^2-ax-by-c{)}^2+\lambda (a^2+b^2-4c-1)$$

则对单条数据要求：
$$\left[\begin{array}{c}\frac{F}{a}\\ \frac{F}{b}\\ \frac{F}{c}\\ \frac{F}{\lambda }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
对于$m$个样本，则有$m\times 4$个等式，可以进行最小二乘法求解（自己想的，知道对不对)

下文使用矩阵求解
定义向量
$$\begin{gathered} A=[1,a,b,c{]}^T \\ X=[x^2+y^2,x,y,1] \\ F(X)=X\cdot A=0 \end{gathered}$$
写成矩阵形式，定义样本矩阵$D$
$$D=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1^2+y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2& 1\\ ...& & & \\ x_N^2+y_N^2& x_N& y_N& 1\end{array}\right]$$
最小即是$min{\Vert \begin{array}{c}Da\end{array}\Vert }^2$
定义矩阵表达式表示$a^2+b^2-4c=1$
$$C=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -2& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
约束为$A^{T}CA=1$

定义拉格朗日函数$L(A,\lambda )=DA{A}^{T}D-\lambda (A^{T}CA-1)$
对A求导
得到
$$2D^{T}DA-2\lambda CA=0$$
令，$D^{T}D=S$ 等式变成$SA=\lambda CA$由于C比较简单且可逆，则表达式变成
$$C^{-1}SA=\lambda A$$
得出A为特征向量。

fit ellipse

标准方程：
$$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$$

一般方程：
$$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$$
约束：$b^2-4ac<0$

使用一般方程进行矩阵拟合：
$$\begin{gathered} F(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0 \\ A=[a,b,c,d,e,f{]}^T \\ X=[x^2,xy,y^2,x,y,1] \\ F(X)=X\cdot A \end{gathered}$$
加约束 $4ac-b^2=1$
定义矩阵
$$C=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

数据源矩阵
$$D=\left[\begin{array}{cccccc}{x}_1^2& x_1{y}_1& y_1^2& x_1& y_1& 1\\ ...& & & & & \\ x_i^2& x_i{y}_i& y_i^2& x_i& y_i& 1\\ ...& & & & & \\ x_n^2& x_n{y}_n& y_n^2& x_n& y_n& 1\end{array}\right]$$

拟合问题变成 $min{\Vert \begin{array}{c}Da\end{array}\Vert }^2$ 当符合条件$A^{T}CA=1$
定义拉格朗日函数$L(A,\lambda )=DA{A}^{T}D-\lambda (A^{T}CA-1)$
对A求导
得到
$$2D^{T}DA-2\lambda CA=0$$
令，$D^{T}D=S$ 等式变成$SA=\lambda CA$变换为：
$$S^{-1}CA=\frac{1}{\lambda }A$$
得出A为特征向量。

拉格朗日乘数法

单约束

假定在$g(x)=0$ 条件下求$f(x)$的极值,一般表示如下：
$$\begin{gathered} minmaxf \\ s.t.g=0 \end{gathered}$$
其中s.t. 表示subject to，服从于，表示约束。
由极值点的导数相差常数倍，则可以得到以下方程
$$\{\begin{array}{c}\Delta f=\lambda \Delta g\\ g=0\end{array}$$
以上表达式也可以写成
$$\begin{gathered} F=f+\lambda g \\ \left[\begin{array}{c}\frac{F}{\delta x}\\ \frac{F}{\delta y}\\ \frac{F}{\delta \lambda }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

有与$\lambda$是未知量，也可以将+替换成-。

多约束

假定在$g(x)=0h(x)=0$ 条件下求$f(x)$的极值,一般表示如下：
$$\begin{gathered} minmaxf \\ s.t.g=0h=0 \end{gathered}$$
其中s.t. 表示subject to，服从于，表示约束。
由极值点的导数相差常数倍，则可以得到以下方程
$$\{\begin{array}{c}\Delta f=\lambda \Delta g+u\Delta h\\ g=0\\ h=0\end{array}$$
以上表达式也可以写成
$$\begin{gathered} F=f+\lambda g+uh \\ \left[\begin{array}{c}\frac{F}{\delta x}\\ \frac{F}{\delta y}\\ \frac{F}{\delta \lambda }\\ \frac{F}{\delta u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

有与$\lambda$是未知量，也可以将+替换成-。

参考

问题1，矩阵求导

https://zhuanlan.zhihu.com/p/143017326
其中未理解问题,下图中的求导数过程：

矩阵求导有分子布局和分母布局，本质上是偏微分矩阵。

目标是向量

1 常数求导
$$\frac{\delta c}{\delta x}=0_{n\times 1}$$
2 线性法则
$$\frac{\delta [c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]}{\delta x}=c_1\frac{\delta f(x)}{\delta x}+c_2\frac{\delta g(x)}{\delta x}$$
3 乘法法则,其中$f(x)g(x)$ 是标量，非矩阵相乘，表示相乘后形成的矩阵
$$\frac{\delta [f(x)g(x)]}{\delta x}=g(x)\frac{\delta f(x)}{\delta x}+f(x)\frac{\delta g(x)}{\delta x}$$

4 商法则
$$\frac{\delta [\frac{f(x)}{g(x)}]}{\delta x}=\frac{1}{g^2(x)}[\frac{\delta f(x)}{\delta x}g(x)-f(x)\frac{\delta g(x)}{\delta x}]$$
$$

KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 15: 5 几个公式 5.1 其中$̲a$为常量
\frac{\delta ( x^Ta)}{\delta x} = \frac{\delta ( a^Tx)}{\delta x} = a
$$5.2$$
\frac {\delta x^Tx}{\delta x} = 2x
$$

5.3 $A_{n\times n}$ 是常数矩阵
$$\frac{\delta (x^{T}Ax)}{\delta x}=Ax+A^{T}x$$
5.4 其中$ab$为常数向量
$$\frac{\delta (a^{T}x{x}^{T}b)}{\delta x}=a{b}^{T}x+b{a}^{T}x$$

目标是矩阵

1，2，3，4 是一样的
5 几个公式
5.1 $a_{m\times 1}{b}_{n\times 1}$ 为常数向量
$$\frac{\delta (a^{T}Xb)}{\delta X}=a{b}^T$$
5.2
$$\frac{\delta (a^T{X}^{T}b)}{\delta X}=\frac{\delta (a^T{X}^{T}b{)}^T}{\delta X}=b{a}^T$$

5.3
$$\frac{\delta (a^{T}X{X}^{T}b)}{\delta X}=a{b}^{T}X+b{a}^{T}X$$
5.4
$$\frac{\delta (a^T{X}^{T}Xb)}{\delta X}=Xa{b}^T+Xb{a}^T$$