求完美数

一个数如果恰好等于它的因子之和，这个数就称为"完美数"或"完数"。例如6=1+2+3.(6的因子是1,2,3) 完美数的一些性质：

1. 欧几里德证明了：一个偶数是完数，当且仅当它具有如下形式：2^(p-1)×(2^p-1) 其中p和(2^p-1)是素数。 尽管没有发现奇完数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔（Oystein Ore）证明，若有奇完全数，则其形状必然是12p+1或36p+9的形式，其中p是素数。在1018以下的自然数中奇完数是不存在的。
2. 除6以外的偶完数，把它的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1（亦即：除6以外的完数，被9除都余1） 28：2+8=10，1+0=1 496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
3. 因为 2^p 是 2的幂，用C语言也就是1 << p，那么 2^p-1 的二进制也就是p个1组成了，而 2^(p-1) 是 2的幂，这两个数相乘，也就相当于把 2^p-1 向左移 p-1 位，即 (2^p-1) << (p-1)，那所有完美数的二进制就是前面p个1，后面跟着p-1个0。 所以偶完数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，如： 6=2(1 ) +   2(2 ) 28=2(2  ) +   2(3)   +   2(4) 8128=2(6)   +   2(7)   +   ...   +   2(12) 33550336=2(12)   +   2(13 )  +   ...   +   2(24)

   j = ((1 + (i ^ (i-1) )) >> 1) + i - 1;
   (j & (j + 1)) || (i & 1)

   上面的代码可以判断整数i是否是前面1后面0的形式。
4. 每一个偶完数都可以写成连续自然数之和： 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+…+30+31
5. 除6以外的偶完数，还可以表示成连续奇数的立方和（被加的项共有)： 28 = 1(3) + 3(3) 496 = 1(3) + 3(3) + 5(3) + 7(3) 8128 = 1(3) + 3(3) + 5(3) + ... + 15(3) 33550336 = 1(3) + 3(3) + 5(3) + ... + 125(3) + 127(3)
6. 每一个完数的所有约数(包括本身)的倒数之和，都等于2： 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

了解了上面一些性质后，就可以简单的来写一个求完美数的程序了。

#include <stdio.h>

#ifndef WIN32
typedef long long ll;
#else
typedef __int64 ll;
#endif

int main(void)
{
	ll i, j, n, x;

	for (n = 2; n <= 31; n++)
	{
		x = (1 << n) - 1;
		for(i = 3; i*i <= x; i += 2)
			if(x % i == 0)
				break;
		if(i*i <= x) continue;
		printf("%lld/n", (1 << (n - 1)) * x);
	}

	return 0;
}

运行结果：

6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128

到目前为止，已经求出的2^p-1是素数的有25个：2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701。 据说最后一个即2²¹⁷⁰¹－1是1978年两名美国大学生新发现的截止目前为止最大的一个素数 所有我们可以利用这个结果来求已知的完美数：

import java.math.BigInteger;

public class Main
{
	public static void main(String[] argv)
	{
		int [] prime = {
			2,3,5,7,13,17,19,31,61,	89,107,127,
			521,607,1279,2203,2281,3217,4253,
			4423,9689,9941,11213,19937,21701
		};
		BigInteger x = BigInteger.ONE;
		for (int i = 0; i < prime.length; i++)
			System.out.println(x.shiftLeft(prime[i]-1).multiply(x.shiftLeft(prime[i]).subtract(x)));
	}
}

最后一个完美数的长度是13066！堪称是BinIntegest了

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