15、算法复杂度分析实例解析

算法复杂度分析实例解析

1. 算法复杂度初步分析

在分析算法复杂度时，我们以图的遍历算法为例。对于图的遍历，有深度优先搜索（Depth-First Search）和广度优先搜索（Breadth-First Search）等算法。

1.1 深度优先搜索复杂度分析

在深度优先搜索中，我们使用一个布尔数组 Visited 来记录节点是否被访问。显然， Visited 数组中最多有 n 个节点会被标记为已访问。但在检查某个已访问节点的邻居时，可能需要进行比待处理节点数量更多的测试。这是因为部分邻居可能已经被访问过，但确定这一点仍需一定的操作。

在最坏情况下，可能需要检查图中的每一条边。由于处理每条边的时间复杂度为 $O(1)$，所以有人可能认为最坏情况下的时间复杂度是 $O(m)$（$m$ 为边的数量）。然而，图的表示方式会对复杂度产生显著影响。

• 邻接表表示 ：获取下一个邻居（检查下一条边）非常容易，只需获取邻居列表中的下一个元素，时间复杂度为 $O(1)$。
• 关联矩阵表示 ：获取节点 v 的下一个邻居时，需要从已处理的最后一个邻居开始遍历关联矩阵 IG[v, *] 的整行，直到找到值为 true 的元素 IG[v, w] ，这意味着 w 是下一个要检查的邻居。由于关联矩阵的每一行有