9、算法复杂度分析示例

算法复杂度分析示例

1. 复杂度分析概述

在分析算法复杂度时，我们会先回顾确定复杂度函数的技术，然后将这些技术应用于一些标准算法，包括分治法、动态规划的代表算法，以及排序、搜索和图操作算法等。同时，还会介绍在线和离线算法。

对于给定的算法，确定其复杂度的方法因算法的结构而异。如果算法是简单语句的线性序列（即每个语句只执行一次的直线代码），那么其时间复杂度就是语句的数量。但实际上，大多数有意义的算法都包含更复杂的语句，如迭代语句（for 循环、while 循环、repeat 循环）、选择语句（if 语句、case 语句）和函数调用（包括递归调用）。

1.1 迭代语句分析

迭代语句的关键在于确定其循环体的执行次数。对于 for 循环，我们可能可以精确计算；对于其他循环，可能只能确定其迭代次数的上界或进行其他类型的估计。这个上界或估计的质量会影响分析的质量，通常更紧的上界能给出更好的复杂度度量。确定或估计迭代次数后，循环的语句计数就是迭代次数乘以循环体的语句计数。同时，需要考虑我们关注的复杂度类型，如最坏情况复杂度需要确定上界，平均复杂度则可能更适合使用良好的估计。

1.2 选择语句分析

选择语句的复杂度分析取决于所需的复杂度类型。对于最坏情况复杂度，需要确定所有选择的复杂度并取最大值；对于平均复杂度，则使用这些复杂度的平均值。

1.3 函数调用分析

如果函数调用不涉及递归，我们只需根据函数的参数确定执行函数的复杂度，并将其纳入算法的整体复杂度分析。如果涉及递归，则需要更强大的技术。

1.4 递归函数分析

递归函数是指其函数体中包含