30、微积分与微分方程的数值方法及应用

微积分与微分方程的数值方法及应用

1. 数值方法概述

数值方法在计算积分、导数以及求解常微分方程方面有着广泛的应用。掌握这些方法后，我们能够完成以下任务：
- 对被积函数已知的单重、二重和三重积分进行数值计算。
- 对被积函数以数值形式给出的单重积分进行数值计算。
- 对一组数据的导数进行数值估计。
- 计算给定函数的梯度和拉普拉斯算子。
- 以封闭形式求出多项式函数的积分和导数。
- 使用 MATLAB 的 ODE 求解器来求解指定初始条件的一阶常微分方程。
- 将高阶常微分方程转换为一组一阶方程。
- 使用 MATLAB 的 ODE 求解器来求解指定初始条件的高阶常微分方程组。
- 使用 MATLAB 将模型从传递函数形式转换为状态变量形式，反之亦然。

MATLAB 提供了丰富的工具来解决各种微分方程问题，不过这里主要关注指定初始条件的常微分方程。此外，MATLAB 还提供了解决边界值问题（BVPs）、隐式微分方程、延迟微分方程（DDEs）和偏微分方程的算法，同时也支持对求解器输出进行分析和绘图。

2. 关键术语解释

术语	解释
后向差分（Backward difference）	用于数值估计导数的一种方法，基于当前点和前一个点的值计算
柯西形式（Cauchy form）	微