27、微积分与微分方程的数值方法

微积分与微分方程的数值方法

1. 数值积分概述

数值积分是计算积分的一种重要方法，适用于那些无法通过解析方法求解的积分。积分可分为定积分、不定积分和反常积分。定积分有明确的积分限，不定积分没有指定积分限，反常积分的值可能为无穷大，具体取决于积分限。例如，(\int \frac{1}{x - 1}dx = \ln|x - 1|)，但当积分限包含(x = 1)时，它就是一个反常积分。在使用数值方法计算积分时，需要检查被积函数是否存在奇点（即被积函数无定义的点）。

1.1 离散点积分

求曲线下面积最简单的方法是将面积分割成矩形。如果矩形的宽度足够小，它们的面积之和就可以近似表示积分的值。更复杂的方法是使用梯形元素，每个梯形称为一个面板。为了提高方法的精度，可以在函数变化迅速的地方使用较窄的面板，这种根据函数行为调整宽度的方法称为自适应方法。

MATLAB 中的 trapz 函数实现了梯形积分。其语法为 trapz(x, y) ，其中数组 y 包含数组 x 中各点的函数值。如果要对单个函数进行积分， y 是一个向量；如果要对多个函数进行积分，将它们的值放在矩阵 y 中， trapz(x, y) 将计算 y 每一列的积分。

以下是使用 trapz 函数计算积分 (\int_{0}^{\pi} \sin x dx) 的示例：