躺平国历险记：两个超平面之间距离的计算

王二麻听说躺平国是一个非常神奇的地方。在躺平国里，有各种神奇的东西。比如：会说话的铁片，能够分拣垃圾的小狗，还有会唱京剧的电线杆子。


王二麻的表哥张三李是一个糙汉子，他前几年在国内混不下去了，一个人去了躺平国。那是一个快乐的国度，每一个人都可以躺平，或者做自己热爱的事情。


他们可以把日常的事物交给特点的躺平机处理。


王二麻也想去躺平国，但是在去躺平国的路上需要经历许许多多的困难。 他非常的畏惧。


于是，张三李一直写信给王二麻，教张三李怎么样度过他路途中需要解决的困难，也会给王二麻讲躺平国的奇闻异事。

• 白沙天堑

  张三李在给王二麻写的第一封信里面，讲了王二麻会遇到的第一个关卡: 白沙天堑。

  白沙天堑是一个大峡谷，上面没有可以通行的桥梁。白沙天堑下面是白色河，白沙和里面白色的河沙是没有能够度过天堑的挑战者的白骨的细屑，所有没能通过白沙天堑的挑战者被躺平国称为——“小白沙雕”。

  白沙天堑崖壁是平行的，这两个崖壁之间的距离会随机变化，但是崖壁旁边的石台上会展示两个崖壁上所有点满足的公式，并且提供一个可以跳跃宽度为 $d$ 的 白沙靴。

  为了能够安全的度过白沙天堑，挑战者必须能够计算出天堑的两个崖壁之间的距离。当崖壁之间的距离能够小于等于 白沙靴 的跳跃距离的时候，王二麻就可以拿出靴子跳过天堑。

1 崖壁的表示

  为了更简单的描述问题，我们将两个崖壁描述为两个平行的超平面。

图 1 点到平面的距离

  如上图1所示，为一个超平面 $L_1$, 对超平面上的每一个点$x=(d_1,d_2,...,d_n)\in R^n$ 满足如下条件:
$$w\cdot x+b=0$$
其中，$w$ 为超平面 $L_1$ 的法向量。

2 天堑距离的计算

  假设，白沙天堑对应的两个崖壁表示的超平面分别为 $L_s$ $L_e$, 其中$L_s$表示起跳超平面，$L_e$表示落地超平面。王二麻的目的就是为了从，$L_s$ 跳到 $L_e$ 那么我们需要计算两个超平面之间的距离 $d$ 来判断跳跃是否成功。

  首先，假设王二麻站定点的坐标为 $S$, 在超平面 $L_e$ 上离他最近的落地点的坐标为 $E$。

设 $L_s$ 满足公式:
$$w\cdot x+b_1=0$$
$L_e$ 满足公式:
$$w\cdot x+b_2=0$$

那么:
$$d=|\overrightarrow{SE}|$$
并且 $\overrightarrow{SE}$ 与平面的法向量平行。
$$|w\cdot \overrightarrow{SE}|=|w||\overrightarrow{SE}|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+...+w_n^2}d=||w||d(1)$$

并且
$$\begin{gathered} |w\cdot \overrightarrow{SE}|=|w_0(S_0-E_0)+w_1(S_1-E_1)+...+w_n(S_n-E_n)| \\ =|(w_0{S}_0+w_1{S}_1+...+w_n{S}_n+b_1)-(w_0{E}_0+w_1{E}_1+...+w_n{E}_n+b_2)-b1+b2| \\ =|-b1+b2|(2) \end{gathered}$$

根据公式(1)和(2) 得到:
$$||w||d=|-b1+b2|$$

那么两个平面的距离$$d=\frac{|-b1+b2|}{||W||}$$